B+-树（B+-tree）(1)

简介：
　　B-tree(也就是B树，多路搜索树，并不是二叉的）是一种常见的数据结构。使用B-tree结构可以显著减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。
　　B+-树使用广泛，一般用于数据库的索引，综合效率较高。
B-树是Rudolf Bayer, Edward M. McCreight(1970)写的一篇论文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的。（wikipedia：http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree）

　　They were designed to work well on Direct Access secondary storage devices (magnetic disks). B-trees try to read as much information as possible in every disk access operation.
　　磁盘读取数据是以盘块(block)为基本单位的。位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。而磁盘IO代价主要花费在查找时间Ts上。因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相邻柱面上，以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数，避免过多的查找时间Ts。
所以，在大规模数据存储方面，大量数据存储在外存磁盘中，而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时，首先需要定位到磁盘中的某块，如何有效地查找磁盘中的数据，需要一种合理高效的外存数据结构，就是下面所要重点阐述的B-tree结构，以及相关的变种结构：B+-tree结构和B*-tree结构。
　　B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。

一个B树的例子：21个英文辅音字母：

*每个内部节点x包含n(x)个key和n(x)+1个子节点
*所有叶子拥有同样的高度
*节点x的n(x)个key按非递减顺序存储（key1<=key2<=……keyn）

*假设ki为Ci子树key，有：(结合上面的例子理解)

上面说了B树是多路搜索树，那么对于M阶的B树，它必须满足以下条件：
1.对于root，要么是一个叶子，要么含有[2,M]个儿子
2.非叶子节点必须有[ceil(M/2),M]个儿子（ceil表示向上取）
3.所有叶子拥有同样的高度
4.每个内部节点x包含n(x)个key和n(x)+1个子节点

下面用K[]代表key,P[]代表指向子树的指针，有：

如这样：

让我们来看一个5阶B树：根据定义，每个节点至多有5个子节点和4个key，非root节点至少有3个子节点和2个key.

B树操作：
1）插入（在看下面插入过程时，时刻记住B tree需要满足的条件，你就大概知道为什么这么做了）

1.2插入H

1.3 插入EKQ

1.4 插入M

1.5 插入FWLT

1.6 插入Z

1.7 插入D

1.8 插入S

总结起来就是：
（1）对于未满的节点直接插入；
（2）对于已满节点，按照类似插入排序方式插入，并将该节点围绕中心节点拆分成两个节点；
（3）将中心节点上移到父节点；
（4）如父节点也满了，重复上述（2）操作。

2）删除
2.1 删除H

2.2 删除T

2.3 删除R

2.4 删除E

2.5 G不满足条件，合并

总结起来就是：
（1）若叶子节点未空（这里的空指已是最少节点），直接删除；
（2）若叶子节点已空，则要与兄弟合并（合并意味着父节点要减少），因此删除后将父节点下移再合并，若父节点下移后为空，删除后可以向丰满（>ceil(M/2)）子节点借一节点或向上迭代此过程；
（3）对于非叶子结点，若节点为空而子节点丰满（>ceil(M/2)）,删除后向子节点借一节点；若子节点也为空，则合并子节点并向上迭代此过程；