数据结构 《18》----RMQ 与 LCA 的等价性 (一)

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前言

    RMQ： 数组 a0, a1, a2,..., an-1, 中求任意区间 a[i+1], a[i+2], ..., a[i+k] 的最小值

    LCA： 求二叉树中两个节点的最低公共祖先

    本文将证明这两个问题可以相互归约为另一个问题。

证明

   先通过一个简单的例子来说明问题。见下图：

   求 [7 2 8 6] 的最小值 2，等价于求二叉树中节点 7 和 节点6的 LCA，也就是 节点2。

   有意思吧。。。

一、 RMQ -> LCA

   给定一个数组，如何求出其对于的二叉树呢？？

     方法1： 这棵二叉树其实具有类似最小堆的性质（虽然不是完全二叉树），

                  可以采用递归建树，先找到最小值作为 root 节点，然后对最小值左半边和右半边递归建左子树和右子树即可。

    复杂度： 最好 O(NlgN)，最坏 O(N^2), 分析类似与快排。。

     方法2：因此扫描数组的每一个元素，将元素按如下规则插入树中；

                 从根节点出发，一直往右孩子移动，直到当前插入元素值位于一个 父亲节点和右孩子节点之间。

                 将插入节点作为 父亲节点的右孩子，之前的右子树作为插入节点的左子树。

二、LCA -> RMQ

如何将一个 LCA 归约到一个数组求区间最小值呢？？ 这个问题有一个 trick.

加入我们的二叉树如下图，注意，它并不满足最小堆的性质！！！

   1. 做一个变换，将节点的值改成节点的深度，这样，新的二叉树就满足了最小堆的性质；

       这两颗树的节点是一一对应的，

       求 LCA(node3, node8) 对应于 在新树中求 LCA(node3, node1)

    2. 新树中求 LCA(node3, node1) 对应于在新树的中序遍历序列 2 1 3 2 0 1 中求 【3 2 0 1】的最小值；

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数据结构 《18》----RMQ 与 LCA 的等价性 (一)

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原文地址：http://blog.csdn.net/shoulinjun/article/details/24817211