strassen算法可以看做是分治递归法求解矩阵乘法的改进。
利用分治递归法求解矩阵乘法的过程大致：
矩阵C = A * B（A、B、C都是n x n矩阵）
可以发现(A11 * B11)、(A12 * B21)……等子矩阵的乘法运算需要继续递归。上面有8个乘法，所以需要递归8次。
时间复杂度关系公式 T(n) = 8T(n/2) + O(n^2)，这里8T(n/2)是8次递归，O(n^2)是求C11,C12,C21,C22所做的加法，因为(A11*B11)、(A12*B21)……都有n^2 / 4个元素。
通过推导公式T(n) = 8T(n/2) + O(n^2)，我们会得到T(n) = O(n^3)，等等……这不是跟普通的3次循环做矩阵乘法的方法时间复杂度一样吗。
不要着急，算法还有改善的空间。
请看上面红框所选的部分，是不是可以想办法减少一下乘法的数量，8次乘法就代表8次递归。8次乘法中有很多乘法因子都是相同的……
这确实是个不小的挑战，很考验数学功底。笔者写满了一张演草纸也没有找到好方法。看了下strassen算法的实现，也只省去了一个乘法，还剩7个。多少有些失望……
Strassen算法的简化思路是——尽量用加减来代替乘法！
推导结果：
C11 = P5 + P4 - P2 + P6
C12 = P1 + P2
C21 = P3 + P4
C22 = P5 + P1 - P3 - P7
P1 = A11 * S1
P2 = S2 * B22
P3 = S3 * B11
P4 = A22 * S4
P5 = S5 * S6
P6 = S7 * S8
P7 = S9 * S10
S1 = B12 - B22
S2 = A11 + A12
S3 = A21 + A22
S4 = B21 - B11
S5 = A11 + A22
S6 = B11 + B22
S7 = A12 - A22
S8 = B21 + B22
S9 = A11 - A21
S10 = B11 + B12
上面的计算过程有7个乘法，分别是计算P1、P2……
你可能会向笔者一样思考，这种方法是怎么想出来的呢？他是经过怎样的反复试验和推敲才找到了这种思路呢？我想，这只有他自己最清楚了。就像数学公式一样，我们只要知道结论就可以了，这并不妨碍我们以后的应用。
经过这一折腾，算法的时间复杂度公式变为T(n) = 7T(n/2) + O(n^2)，经过推导得出T(n) = O(n^lg7)，lg7约为2.81，所以最终T(n) = O(n^2.81)
原文地址：http://blog.csdn.net/sdlwlxf/article/details/24815865
