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[Leetcode] Median of Two Sorted Arrays

时间:2014-06-21 08:34:52      阅读:172      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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Question:

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Solution:

median of two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释,在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题(假设两个原序列升序排列),这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题,原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2,我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素,这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况:>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1],这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说,A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值,所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单,可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值,我们不妨假定其为第(k+1)小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1],所以B[k/2-1]至少是第(k+2)小值。但实际上,在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1],B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1],所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2,小于k,这与A[k/2-1]是第(k+1)的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时,我们已经找到了第k小的数,也即这个相等的元素,我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m,所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问,如果k为奇数,则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑,在实际代码中略有不同,是先求k/2,然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析,我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件:

 

  • 如果A或者B为空,则直接返回B[k-1]或者A[k-1];
  • 如果k为1,我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值;
  • 如果A[k/2-1]=B[k/2-1],返回其中一个;
 1 public class Solution {
 2     public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
 3         int m=A.length;
 4         int n=B.length;
 5         int k=m+n;
 6         if(k%2!=0){
 7             return findKth(A,m,B,n,k/2+1);
 8         }else{
 9             return (findKth(A,m,B,n,k/2)+findKth(A, m, B, n, k/2+1))/2;
10         }
11     }
12 
13     private double findKth(int[] a, int m, int[] b, int n, int k) {
14         // TODO Auto-generated method stub
15         //always assume that m is equal or smaller than n 
16         if(m>n)
17             return findKth(b, n, a, m, k);
18         if(m==0)
19             return b[k-1];
20         if(k==1)
21             return Math.min(a[0], b[0]);
22         //divide k into two parts 
23         int pa=Math.min(k/2, m);
24         int pb=k-pa;
25         if(a[pa-1]<b[pb-1]){
26             int[] c=new int[m-pa];
27             for(int i=pa,j=0;i<m;i++,j++){
28                 c[j]=a[i];
29             }
30             return findKth(c, m-pa, b, n, k-pa);
31         }else if(a[pa-1]>b[pb-1]){
32             int[] d=new int[n-pb];
33             for(int i=pb,j=0;i<n;i++,j++){
34                 d[j]=b[i];
35             }
36             return findKth(a, m, d, n - pb, k - pb);
37         }else{
38             return a[pa-1];
39         }
40     }
41     
42 }

 

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