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Question:
There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
Solution:
从median of two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：
1 public class Solution { 2 public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) { 3 int m=A.length; 4 int n=B.length; 5 int k=m+n; 6 if(k%2!=0){ 7 return findKth(A,m,B,n,k/2+1); 8 }else{ 9 return (findKth(A,m,B,n,k/2)+findKth(A, m, B, n, k/2+1))/2; 10 } 11 } 12 13 private double findKth(int[] a, int m, int[] b, int n, int k) { 14 // TODO Auto-generated method stub 15 //always assume that m is equal or smaller than n 16 if(m>n) 17 return findKth(b, n, a, m, k); 18 if(m==0) 19 return b[k-1]; 20 if(k==1) 21 return Math.min(a[0], b[0]); 22 //divide k into two parts 23 int pa=Math.min(k/2, m); 24 int pb=k-pa; 25 if(a[pa-1]<b[pb-1]){ 26 int[] c=new int[m-pa]; 27 for(int i=pa,j=0;i<m;i++,j++){ 28 c[j]=a[i]; 29 } 30 return findKth(c, m-pa, b, n, k-pa); 31 }else if(a[pa-1]>b[pb-1]){ 32 int[] d=new int[n-pb]; 33 for(int i=pb,j=0;i<n;i++,j++){ 34 d[j]=b[i]; 35 } 36 return findKth(a, m, d, n - pb, k - pb); 37 }else{ 38 return a[pa-1]; 39 } 40 } 41 42 }
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[Leetcode] Median of Two Sorted Arrays
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Phoebe815/p/3795204.html
