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已经有函数F(n)=∑ f(d)，可以导出 f(n)= ∑ μ(d)F(n/d)
d|n d|n
已经有F(n)= ∑ f(d),可以导出f(n)= ∑ μ(d/n)F(d)
n|d n|d
bzoj2301 Problem b
题目大意：求gcd（x,y）=k（a<=x<=b,c<=y<=d）的数对个数。
思路：F（i）表示i|gcd（x,y）的数对个数，f(i)表示gcd（x，y）的数对个数，我们要求的就是f（k）。F（i）相对好求一些，F（i）=⌊n/i⌋⌊m/i⌋，
f(i)=∑（i|a）μ(a/i)F(a)=∑（i|a）μ(ai)⌊n/a⌋⌊m/a⌋ ，然后我们只需要枚举⌊n/a⌋⌊m/a⌋的值就可以了（这个值据说是2（根n+根m））。我们穷举a，
找到所有⌊n/a⌋⌊m/a⌋相等的的位置（连续的），然后乘上预处理出来的mu函数的和就可以了。这里有一个小技巧，1...x的数列中，与n/i相等的值的最
后一位是（n/(n/i)），这样我们找到n、m右边界较小的就是一段相等的区间了。
同时，对于求一个区间内gcd=k的，我们可以通过将区间/k后找到互质的数对的个数就是答案了。
再同时，对于这道题中的答案要容斥原理一下，每次都处理成[1...x][1...y]，然后答案就是work（b，d）-work（a，d）-work（c，b）+work（a，c）了。
这题中的技巧和化简思路都十分重要，这种穷举除数的思路据（某大神）说十分常用。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int mu[50010]={0},prime[50010]={0},k; bool flag[50010]={false}; void prework(int n) { int i,j; mu[1]=1; for (i=2;i<=n;++i) { if (!flag[i]) { prime[++prime[0]]=i;mu[i]=-1; } for (j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j) { flag[i*prime[j]]=true; if (i%prime[j]==0) { mu[i*prime[j]]=0;break; } else mu[i*prime[j]]=-mu[i]; } } for (i=1;i<=n;++i) mu[i]+=mu[i-1]; } int work(int x,int y) { int i,last=0,ans=0; x/=k;y/=k; if (x>y) swap(x,y); for (i=1;i<=x;i=last+1) { last=min(x/(x/i),y/(y/i)); ans+=(x/i)*(y/i)*(mu[last]-mu[i-1]); } return ans; } int main() { int n,a,b,c,d,i,ans; prework(50000); scanf("%d",&n); for (i=1;i<=n;++i) { scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); ans=work(b,d)-work(a-1,d)-work(c-1,b)+work(a-1,c-1); printf("%d\n",ans); } }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Rivendell/p/4555669.html
