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HNOI2008Cards

时间:2014-06-24 10:00:03      阅读:210      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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暗了一下polya和burnside定理,感觉还行(就是不会证……)

这题用的是burnside

ans=在每个置换群下不动的方案数之和除以置换数

这题有个难点在取模

关于对p(p为素数)取模(涉及到了除法),我总结了两种方法:

已知x mop p=y,要求x/z mod p=?

大体思路是利用乘法逆,将/z转换成*z的逆元即可

一、利用费马小定理

     z^p-1 mod p=1 

     所以z的逆元=power_mod(z,p-2,p)

二、利用拓展欧几里德算法,即exgcd(z,p,x,y) 

      while x<0 do inc(x,p)

      事实上,这也是乘法逆的思想

      exgcd(z,p,x,y) 这实际上是在解同余方程zx mod p=1

      x不就是z的逆元吗

但是当p不是素数时,应该怎么办呢?

在做noi2002robot的时候,我运用了一种特殊的方法,最后需要求x>>1 mod p=?

我在过程中始终对p取模,到最后感觉做不下去了

后来我灵机一动,想到了多取一位 在过程中mod 10p  

这样 最后输出的时候再mod p 答案就正确了

不知道这样的方法能否应用在更广泛的地方……

ps:刚才试了一下此题

    在过程中一直对m*p取模,最后ans div m 再对p取模,竟然AC了 

    原理在哪里?

代码:

神牛Green Clouds 的代码(费马小定理):

bubuko.com,布布扣
 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4  
 5 using namespace std ;
 6  
 7 const int maxn =21;
 8  
 9 int sr , sb , sg , m , mod , f[ maxn ][ maxn ][ maxn ], a[ maxn *3], n ;
10 bool used[ maxn *3];
11 int v[ maxn *3], cnt , ans =0;
12  
13 void update(int&num ,int val ){
14     ( num += val )%= mod ;
15 }
16  
17 int power(int val ,int times ){
18     int rec =1;
19     for(; times ; times >>=1){
20         if( times &1)( rec *= val )%= mod ;
21         ( val *= val )%= mod ;
22     }
23     return rec ;
24 }
25  
26 int main(  ){
27     scanf("%d%d%d%d%d",&sr ,&sb ,&sg ,&m ,&mod );
28     n = sr + sb + sg ;
29     for(int w =0; w ++< m +1;){
30         if( w < m +1)for(int i =0; i ++< n ;)scanf("%d", a + i );
31         else for(int i =0; i ++< n ;) a[ i ]= i ;
32         memset( used ,false,sizeof( used ));
33         cnt =0;
34         for(int i =0; i ++< n ;)if(! used[ i ]){
35             v[++ cnt ]=0;
36             for(int j = i ;! used[ j ]; j = a[ j ]){
37                 ++ v[ cnt ], used[ j ]=true;
38             }
39         }
40         memset( f ,0,sizeof( f ));
41         f[0][0][0]=1;
42         for(int h =0; h ++< cnt ;){
43             for(int i = sr ; i >=0;-- i ){
44                 for(int j = sb ; j >=0;-- j ){
45                     for(int k = sg ; k >=0;-- k ){
46                         if( i >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i - v[ h ]][ j ][ k ]);
47                         if( j >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i ][ j - v[ h ]][ k ]);
48                         if( k >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i ][ j ][ k - v[ h ]]);
49                     }
50                 }
51             }
52         }
53         update( ans , f[ sr ][ sb ][ sg ]);
54     }
55     ( ans *=power( m +1, mod -2))%= mod ;
56     printf("%d\n", ans );
57     return 0;
58 }
View Code 

exgcd:

bubuko.com,布布扣
 1 var s1,s2,s3,n,m,p,ans,i,j,x,y:longint;
 2     a:array[0..70,0..70] of longint;
 3     f:array[0..25,0..25,0..25] of longint;
 4 function mo(x:longint):longint;
 5  begin
 6    mo:=x mod (p);
 7  end;
 8 procedure init;
 9  begin
10    readln(s1,s2,s3,m,p);
11    n:=s1+s2+s3;
12    for i:=1 to m do
13     for j:=1 to n do
14      read(a[i,j]);
15    inc(m);
16    for i:=1 to n do a[m,i]:=i;
17  end;
18 function dp(x:longint):longint;
19  var i,j,k,tot,y,h,num:longint;
20      v:array[0..70] of boolean;
21      d:array[0..70] of longint;
22  begin
23    tot:=0;
24    fillchar(v,sizeof(v),false);
25    for i:=1 to n do
26     if not(v[i]) then
27      begin
28        num:=1;
29        v[i]:=true;
30        y:=i;
31        while a[x,y]<>i do
32         begin
33          y:=a[x,y];
34          v[y]:=true;
35          inc(num);
36         end;
37        inc(tot);
38        d[tot]:=num;
39      end;
40    fillchar(f,sizeof(f),0);
41    f[0,0,0]:=1;
42    for h:=1 to tot do
43     for i:=s1 downto 0 do
44      for j:=s2 downto 0 do
45       for k:=s3 downto 0 do
46        begin
47         if i>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i-d[h],j,k]);
48         if j>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j-d[h],k]);
49         if k>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j,k-d[h]]);
50        end;
51    exit(f[s1,s2,s3]);
52    end;
53 procedure exgcd(a,b:longint;var x,y:longint);
54  var t:longint;
55  begin
56  if a=1 then begin x:=1;y:=0;exit;end;
57  exgcd(b,a mod b,x,y);
58  t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*x;
59  end;
60 procedure main;
61  begin
62    ans:=0;
63    for i:=1 to m do
64     ans:=mo(ans+dp(i));
65    exgcd(m,p,x,y);
66    while x<0 do inc(x,p);
67    writeln((ans*x) mod p);
68  end;
69 begin
70   init;
71   main;
72 end.         
View Code

m*p:

bubuko.com,布布扣
 1 var s1,s2,s3,n,m,p,ans,i,j,x,y:longint;
 2     a:array[0..70,0..70] of longint;
 3     f:array[0..25,0..25,0..25] of longint;
 4 function mo(x:longint):longint;
 5  begin
 6    mo:=x mod (m*p);
 7  end;
 8 procedure init;
 9  begin
10    readln(s1,s2,s3,m,p);
11    n:=s1+s2+s3;
12    for i:=1 to m do
13     for j:=1 to n do
14      read(a[i,j]);
15    inc(m);
16    for i:=1 to n do a[m,i]:=i;
17  end;
18 function dp(x:longint):longint;
19  var i,j,k,tot,y,h,num:longint;
20      v:array[0..70] of boolean;
21      d:array[0..70] of longint;
22  begin
23    tot:=0;
24    fillchar(v,sizeof(v),false);
25    for i:=1 to n do
26     if not(v[i]) then
27      begin
28        num:=1;
29        v[i]:=true;
30        y:=i;
31        while a[x,y]<>i do
32         begin
33          y:=a[x,y];
34          v[y]:=true;
35          inc(num);
36         end;
37        inc(tot);
38        d[tot]:=num;
39      end;
40    fillchar(f,sizeof(f),0);
41    f[0,0,0]:=1;
42    for h:=1 to tot do
43     for i:=s1 downto 0 do
44      for j:=s2 downto 0 do
45       for k:=s3 downto 0 do
46        begin
47         if i>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i-d[h],j,k]);
48         if j>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j-d[h],k]);
49         if k>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j,k-d[h]]);
50        end;
51    exit(f[s1,s2,s3]);
52    end;
53 procedure main;
54  begin
55    ans:=0;
56    for i:=1 to m do
57     ans:=mo(ans+dp(i));
58    writeln((ans div m) mod p);
59  end;
60 begin
61   init;
62   main;
63 end.   
64     
View Code

HNOI2008Cards,布布扣,bubuko.com

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