随机数生成算法

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1、蒙特卡洛方法

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，数学家冯·诺依曼用闻名世界的赌城——蒙特卡罗命名（就是那个冯·诺依曼）。
蒙特卡罗方法解题过程的主要步骤：
a.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量恰好是该模型的概率分布或数字特征。
b.对模型的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数。
c.对模拟实验结果进行统计分析，给出所求解的“估计”。
d.必要时，改进模型以提高估计精度和减少实验费用，提高模拟效率。

2、冯·诺依曼

冯·诺依曼（John von Neumann，1903~1957），20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论和核武器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一，被称为“计算机之父”和“博弈论之父”。主要贡献是：2进制思想与程序内存思想，当然还有蒙特卡洛方法。通过第一部分，可知，蒙特卡洛方法更多的是一种思想的体现（这点远不同于快排等“严格”类算法），下面介绍最常见的一种应用——随机数生成。

3、U(0,1)随机数的产生

对随机系统进行模拟，便需要产生服从某种分布的一系列随机数。最常用、最基础的随机数是在（0,1）区间内均匀分布的随机数，最常用的两类数值计算方法是：乘同余法和混合同余法。

乘同余法：其中，被称为种子，是模，是（0,1）区间的随机数。

混合同余法：其中，是非负整数。

这些随机数是具有周期性的，模拟参数的选择不同，产生的随机数质量也有所差异。更复杂的生成方法还有：

4、从U(0,1)到其它概率分布的随机数

离散型随机数的模拟

设随机变量X的概率分布为：，分布函数有

设随机变量U~U(0,1)的均匀分布，则，表明的概率与随机变量u落在与之间的概率相同。

例如：离散随机变量X有分布律

U是(0,1)的均匀分布，则有，这样得到的x便具有X的分布律。

连续型随机变量的模拟

常用的有两种方法：逆变换法和舍选法。逆变换法
定理：设随机变量Y的分布函数为F(y)是连续函数，而U是(0,1)上均匀分布的随机变量。另，则X和Y具有相同的分布。

证明：由定义知，X的分布函数
所以X和Y具有相同的分布。
这样计算得，带入均匀分布的U，即可得到服从的随机数Y。
例如：设X~U(a,b)，则其分布函数为

则。所以生成U(0,1)的随机数U，则便是来自U(a,b)的随机数。

有些随机变量的累计分布函数不存在或者难以求出，即使存在，但计算困难，于是提出了舍选法
要产生服从的随机数，设x的值域为[a,b]，抽样过程如下：

1.已知随机分布且x的取值区间也为[a,b]，并要求，如图：

2.从中随机抽样得，然后由的均匀分布抽样得。
3.接受或舍弃取样值，如果舍弃该值；返回上一步，否则接受。几何解释如下：

常数c的选取：c应该尽可能地小，因为抽样效率与c成反比；一般取。这里的可以取均匀分布，这样由第二步中两个均匀分布便能得到其他任意分布的模拟抽样。

5、正态随机数的生成

除了上面的反函数法和舍选法，正态随机数还可以根据中心极限定理和Box Muller（坐标变换法）得到。

中心极限定理：如果随机变量序列 独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差，则对于一切有

也就是说，当n个独立同分布的变量和，服从的正态分布（n足够大时）。

设n个独立同分布的随机变量，它们服从U(0,1)的均匀分布，那么渐近服从正态分布。

Box Muller方法，设（X,Y）是一对相互独立的服从正态分布的随机变量，则有概率密度函数：

令，其中，则有分布函数：

令，则分布函数的反函数得：。

如果服从均匀分布U(0,1)，则可由模拟生成（也为均匀分布，可被代替）。令为，服从均匀分布U(0,1)。得：

X和Y均服从正态分布。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。

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