一天一道算法题---6.26---二分查找

分析

给定一个数组A，其中有一个位置被称为Magic Index，含义是：如果i是Magic Index，则A[i] = i。假设A中的元素递增有序、且不重复，请给出方法，找到这个Magic Index。更进一步，当A中允许有重复的元素，该怎么办呢？

没有重复元素的情况

一些同学在遇到这个题目的时候，往往会觉得比较简单。扫描一遍，不就ok了么？O(n)的。很简单呀。可是，大家要注意到，还有一 个条件没有用：A中的元素是有序递增的。这个条件，并不是放在这里迷惑大家的，而是有更大的作用的。这个时候，该如何想呢？O(n)不是最好的方法，更好 的是什么呢？怎么利用数组有序呢？在有序的数组中查找一个满足特定元素的条件，我们通常会想到二分查找。 我们来回顾一下二分查找，对于要查找的目标t，我们首先与数组中间的元素比较，如果t大于中间的元素，则在右半部分继续查找；如果t小于中间的元素，则在 左半部分，继续查找。

那么，我们的题目能够利用上述的思想呢？我们来看一个具体的例子：

mid=3，A[mid] = 2，即A[mid] < mid。接下来，我们应该在哪一边查找呢？我们知道数组的元素是递增有序，且不重复的，也就是说，在A[mid]左边的元素，比A[mid]都要小，没有 重复，意味着什么呢？每向左移动一位，至少减1。所以，在mid左边，不可能有一个i，A[i]=i的。如果有，根据前面的分析，我们知道A[mid] - A[i] >= mid - i, 如果A[i] = i，则，A[mid] >= mid, 这与事实A[mid] < mid相悖。所以，接下来，只能在右边进行查找。代码与二分查找也很像。

有重复元素的情况

如果数组A中，有重复元素，是什么情况呢？经过前面的分析，我们知道，是否有重复的主要差别在，数组的元素从右到左进行递减，每次不一定至少是1了，有可能是0了。让我们直观的看一下影响吧。

看上面的数组，同样A[mid] < mid。我们应该继续查右边么？显然，右边并不存在Magic Index。查找右边，就会找不到这样的Magic Index。此时，应该如何处理呢？我们无法确定，Magic Index是在左边，还是在右边了。那就两边都递归进行处理吧。

在这里还有一个小技巧，我们就是要分别递归处理[0, mid - 1]和[mid + 1， end]（end是数组长度-1）么？我们看一个具体的例子：

这个例子，当我们进行左半部分递归处理的时候，需要考虑的范围是[0, 3]。可实际上，我们只需要考虑[0, 2]。原因是，数组元素在mid=4的左边的值都要小于或者等于A[mid]=2，所以最大的一个有可能是Magic Index的，就是index为A[mid]的情况。所以，这时右边的边界应该是min(mid - 1, A[mid])。

那么，右边的情况呢？如下例子：

此时，要在右半部分进行查找，范围一般是[5, 8]。但是，由于数组有序，后面的值，一定是大于等于A[mid]=9的。所以，有可能是Magic Index的最小Index是9，也就是说右边的递归，应该是从索引为9的位置开始。此例，就意味着，无需处理右边了。

code:来源于--->阳光可乐

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 
 5 int magicIndex1(int A[],int low,int high){//无重复元素情况
 6     int mid = low+(high-low)/2;
 7     if(A[mid] == mid){
 8         return mid;
 9     }
10     else if(A[mid] > mid){//如果A[mid]>mid,则用所有所有mid的元素都不可能存在A[i]==i
11         //因为元素递增有序且无重复元素
12         return magicIndex1(A,low,mid-1);
13     }
14     else{
15         //原理同上
16         return magicIndex1(A,mid+1,high);
17     }
18 }
19 
20 int magicIndex2(int A[],int low, int high){//有重复元素情况
21     if(high < low )
22         return -1;
23     int mid = low+(high-low)/2;
24     if(A[mid] == mid){
25         return mid;
26     }
27     else{
28         int left = magicIndex2(A,low,mid-1);
29         int right = magicIndex2(A,mid+1,high);
30         if(left != -1)
31             return left;
32         else 
33             return right;
34     }
35 }
36 
37 
38 int main(){
39     int A[5]={-1,1,1,2,3};//{-1,0,1,2,4};
40     //cout<<magicIndex1(A,0,4)<<endl;
41     cout<<magicIndex2(A,0,4)<<endl;
42     return 0;
43 }

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