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看到这道题感觉像是网络流,如果没有权值,可以用DAG最小路径覆盖,有权值,感觉可以求一个上下界最小可行流,但内存卡了....时间估计也悬.
正解要用到一些数学知识,这里梳理一下:
定义:
偏序关系: 满足自反,反对称,传递的关系是自反关系
链: 偏序集A的一个子集B,并且满足B中元素两两可比
反链: 偏序集A的一个子集B,并且满足B中元素两两不可比
集合的划分: 集合A的划分是很多个集合,这些集合的交集为空,并集为A
Dilworth定理:
偏序集的最长反链的大小等于最小链划分
另一个定理:
偏序集的最长链大小等于最小反链划分
第二个定理很好证明,网上有很多,第二个定理大概感受一下吧.
所以这道题其实就求一个偏序集的最小链划分,我们用第一个定理,就是求它的最长反链,这个可以用DP搞定.
总结一下:
1, 一个集合及其偏序关系与一个DAG相对应, 或者说偏序集的图论本质便是一个DAG.
2, 求一个偏序关系的最长反链:
1) 如果该偏序关系的否也是一个类偏序关系,那么直接求后者的最长链长度就行了(比如(a,b)R(c,d) <=> a<=c and b<=d 就是这样一种关系).
2) 如果该偏序关系没有这样的性质,就用第一个定理把原问题转换成求DAG的最少路径覆盖问题.
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) 4 #define N 1010 5 6 int n, m; 7 int aa[N][N]; 8 int dp[N][N], up[N][N], rg[N][N]; 9 10 int main() { 11 int T; 12 scanf( "%d", &T ); 13 while( T-- ) { 14 scanf( "%d%d", &n, &m ); 15 for( int i=1; i<=n; i++ ) 16 for( int j=1; j<=m; j++ ) 17 scanf( "%d", &aa[i][j] ); 18 memset( up, 0, sizeof(up) ); 19 memset( rg, 0, sizeof(rg) ); 20 for( int i=1; i<=n; i++ ) 21 for( int j=m; j>=1; j-- ) { 22 dp[i][j] = aa[i][j] + max( up[i-1][j+1], rg[i-1][j+1] ); 23 up[i][j] = max( dp[i][j], up[i-1][j] ); 24 rg[i][j] = max( dp[i][j], rg[i][j+1] ); 25 } 26 int ans = 0; 27 for( int i=1; i<=n; i++ ) 28 ans = max( ans, dp[i][1] ); 29 for( int j=1; j<=m; j++ ) 30 ans = max( ans, dp[n][j] ); 31 printf( "%d\n", ans ); 32 } 33 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/idy002/p/4557042.html
