马后炮一篇 关于Futurama S06E10中的数学问题

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      时间要追溯到2013年9月，我看到过这样一个有趣的问题，来源于matrix67的一篇博文。

那么把题目摘录一下：

但现在，问题已经变得更加复杂了——这下已经产生了三个大脑位置错乱的人。大家很容易联想到一个更一般的问题：给定 n 个人以及他们之前使用“心灵对换机”的记录，至少得引入多少个新的人，才能让所有人的大脑都“物归原主”呢？”

原文是这样解释的：

我觉得这句话并没有把这个解答解释得比较充分，让人不太明白，这是这篇文章比较遗憾的地方。

下面说一下我的思考吧

首先，引入这样一个问题。

一个排列，每个数字i都不在第i个位置上，需要多少次交换，才能变换到1，2，3, ..., n-1, n

例如排列 2  4  1  3，最少需要3次交换。排列 2  1  4  3则只需要2次交换。

因为前者{1,2,3,4}构成了一个全乱环，后者{1，2}   {3, 4}构成了2个全乱环（额...全乱环，姑且这么描述吧，暂时没找到正规俗语-_-||）。

排列 1 3 4 2不是我们考虑的情形，因为1在第1个位置。

在一个大小为n的完全乱序环中，最少需要n-1次交换，才能还原。

我们暂时考虑这样的排列：每个数字i都不在排列的第i个位置上，并且需要通过n-1次交换才能还原到1 2 3 4  ... n-1 n

如果只引入一个人x，策略是依次把1，2,3,4心灵换到身体上（红色表示旧人和新人已经做过交换）

2  4  1  3  x

2  4  x  3  1

1  4  x  3  2

1  2  x  3  4

1  2  x  4  3

好，到这里比较尴尬了，因为第一次5号身体和3号已经换过了所以不能再换了

怎么办？

那么只好引入第2个救星了y。他的作用是先和装有1号心灵的身体互换，避免x最后无法交换的困境

2  4  1  3   x  y

2  4  y  3   x  1

x  4  y  3   2  1

x  2  y  3   4  1

x  2  y  4   3  1    

只有x一个人时的困境不再了，3可以和y交换了      

x  2  3  4  y  1

1  2  3  4  y  x

1  2  3  4  x  y

总之，解决的办法就是：

1）y先和1号心灵交换，

2）然后由x的身体把2，3，4，... n按照心灵的顺序各归其位，

3）再由y的身体把1号归位，

4）最后x y互换。

于是，各归其位，世界和平了。 ：D

等等，我们刚才说了排列中只有一个全乱环的情况，如果有多个全乱环呢？

其实很简单，对每一个全乱环都用上述的方法单独处理就行了。

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原文地址：http://blog.csdn.net/kingoverthecloud/article/details/35816773