[概率]m个球扔到n个盒子

问题描述

有m个球，要扔到n个盒子里。其中每个球都是互相独立地扔。问最后平均有几个盒子是有球的？

问题解析

这类问题是较为纯粹的数学问题，当然也可以用计算机精确地求出答案。

方案一：编程解决

• p(m, i)：表示前 m 个球，扔到 n 个盒子里，共占用了 i 个盒子的概率
  于是 p(m, i) = p(m-1, i) * (i/n) + p(m-1, i-1) * (n-i+1)/n
  p(m, i) = 0, if i <= 0 || i > m || i > n

于是可以就可以根据上述式子编程解决，复杂度是 O(m^2)

方案二：数学分析

• p(m): 表示前 m 个球放到 n 个盒子里，其平均占用的盒子数量 （注意：这里是期望数量）
  p(m) = (p(m-1)/n) * p(m-1) + (1 - (p(m-1)/n ) * (p(m-1) + 1)
  上述式子的意义在于，当求 p(m) 时，可以认为第 m 个球恰好落在前 m-1 个球所在的某个盒子中，概率为 p(m-1) / n；或者是第 m 个球落在一个空的盒子中，概率是 1-p(m-1)/n

化简得到： p(m) = 1 + (n-1)/n * p(m-1).
进一步： p(m) - n = (n-1)/n * ( p(m-1) - n)
进一步： p(m) - n = ( (n-1)/n ) ^ m * (-n)
于是： p(m) = n - n * ( (n-1)/n )^m.
当 m 比较大的时候，( (n-1)/n ) ^ m 趋近于 e ^ (-m/n)。当 m=n 时，有 p(m) = n - n / e，意味着此时，平均空盒子数为 n/e 。

方案三：数学分析

还有一种更为巧妙的数学分析。
每个球，不落在特定盒子的概率是 (n-1)/n （这个显然了吧，一个球不落在2号盒子的概率当然是 (n-1)/n ）。于是 m 个球，都不落在特定的盒子的概率是 ( (n-1)/n ) ^ m。这句话可以换个角度理解：对于一个盒子，m 个球都不落在该盒子中的概率是 ( (n-1)/n ) ^ m。
因此，对于 n 个盒子，平均空盒子数量为 n * ( (n-1)/n ) ^ m。这个与上面分析结果一致。