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离散数学4：析取范式与合取范式

命题公式的两种规范表示方法，能表达真值表所能提供的一切信息。

命题变项及其否定统称作文字。仅由有限个文字构成的析取式叫简单析取式，仅由有限个文字构成的合取式叫简单合取式。

（析取式就是由∨链接的，比如q， ￢q∨p，p∨q∨r；合取式就是由∧链接的，比如p，￢p∧q，￢p∧￢q∧r。所以一个文字既是简单析取式又是简单合取式。）

定理：（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。

（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。

所以，由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式。由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式。析取范式与合取范式统称为范式。

比如（￢p∨q）∧(￢p∨r) ∧(p∨q∧r)是合取范式，

（p∧q）∨(p∧￢q) ∨(p∧q∧r)是析取范式。

而类似p∧q∧r既是由3个简单析取式构成的合取范式，又是1个简单合取式构成的析取范式；p∨q∨r既是由1个简单析取式构成的合取范式，又是3个简单合取式构成的析取范式。

析取范式和合取范式的性质：

（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。

（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

为了把含有￢∨∧→↔这五种联结词的命题公式化成等值的析取范式或合取范式，我们首先要消灭→和↔。这可以用下面两个公式做到：

A→B⇔￢A∨B

A↔B⇔(A→B) ∧(B→A) ⇔(￢A∨B) ∧(￢B∨A)

这样就消去了→和↔

然后范式中一个文字最多有一个非，且必须紧跟文字，也就是说要消灭￢￢A和

￢（A∨B），￢(A∧B)这类的

用如下公式解决：

￢￢A⇔A

￢（A∨B）⇔￢A∧￢B

￢(A∧B) ⇔￢A∨￢B

然后在析取范式中不得出现A∧(B∨C)

在合取范式中不得出现A∨(B∧C)。

用如下公式解决：

A∧(B∨C) ⇔(A∧B) ∨(A∧C)

A∨(B∧C) ⇔(A∨B) ∧(A∨C)

这样就可以化成范式了。

定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。

求给定公式范式的步骤为：

（1）消去联结词→，↔。

（2）消去￢￢，移出否定内容

（3）求析取范式时使用A∧(B∨C) ⇔(A∧B) ∨(A∧C)

求合取范式时使用A∨(B∧C) ⇔(A∨B) ∧(A∨C)

例：求（p→q）↔r的析取范式与合取范式

先消去→和↔：

（p→q）↔r

⇔（￢p∨q）↔r

⇔((￢p∨q) →r) ∧(r→(￢p∨q))

⇔(￢(￢p∨q) ∨r) ∧(￢r∨(￢p∨q))

⇔((p∧￢q)∨r) ∧(￢r∨￢p∨q)

⇔(p∨r) ∧(￢q∨r) ∧(￢r∨￢p∨q)

这就是给定公式的合取范式

再求析取范式

（p→q）↔r

⇔（￢p∨q）↔r

⇔((￢p∨q)→r)∧(r→(￢p∨q))

⇔(￢(￢p∨q)∨r)∧(￢r∨(￢p∨q))

⇔((p∧￢q)∨r)∧(￢r∨￢p∨q)

⇔（(p∧￢q)∧￢r）∨（(p∧￢q)∧￢p）∨（(p∧￢q)∧q）∨（r∧￢r）∨

(r∧￢p)∨(r∨q)

⇔(p∧￢q∧￢r)∨ (r∧￢p) ∨(r∨q)

这就是给定公式的析取范式。

离散数学4

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原文地址：http://www.cnblogs.com/XiaobaoKing/p/4559276.html