2.2 关系代数运算

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2.2.1 关系代数的五个基本操作 

考核要求：达到“简单应用”层次 
知识点：五个基本操作的含义和运算应用

(1)并(∪)：两个关系需有相同的关系模式，并的对象是元组，由两个关系所有元组构成。 
　　RUS≡{t| t∈R ∨t∈S} 
(2) 差(-)：同样，两个关系有相同的模式，R和S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合。 
　　R-S≡{t| t∈R ∧t 不属于S} 
(3)笛卡尔积（×）：对两个关系R和S进行操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。 
　　R×S≡{t| t=< t^r,t^s>∧t^r∈R∧t^s ∈S} 
(4) 投影(σ)：对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。 
(5) 选择(π)：根据某些条件关系作水平分割，即选择符合条件的元组。 

2.2.2 关系代数的四个组合操作 
考核要求：达到“简单应用”层次 
知识点：四个组合操作的含义和运算应用

(1)交(∩)：R和S的交是由既属于R又属于S的元组构成的集合。 
(2)联接:包括θ(算术比较符)联接和F(公式)联接. 
　选择R×S中满足iθ(r+j)或F条件的元组构成的集合； 
概念上比较难理解，关键理解运算实例 
等值联接(θ为等号“=”的联接)。 
(3)自然联接(RS)：在R×S中，选择R和S公共属性值均相等的元组，并去掉R×S中重复的公共属性列。 如果两个关系没有公共属性，则自然联接就转化为笛卡尔积。 
(4)除法(÷)：首先除法的结果中元数为两个元数的差，

对于上述的五个基本操作和四个组合操作，应当从实际运算方面进行理解和运用。 

应用举例

设有关系R和S（如下：）

计算：

2.2.3 关系代数表达式及应用 
考核要求：达到“简单应用”层次 
知识点：关系代数表达式的应用

本节的内容是有关实际应用，应该多看例题，多做习题，必须达到以下要求： 能够根据给出的关系代数表达式计算关系值，也能够根据相应查询要求列出关系表达式。 

（1）在列关系表达式时，通常有以下形式： 
π...(σ...(R×S))或者π...(σ...(RS)) 
首先把查询涉及到的关系取来，执行笛卡尔积或自然联接操作得到一张大的表格，然后对大表格执行水平分割(选择)和垂直分割(投影)操作。 
（2）当查询涉及到否定或全部的逻辑时，往往要用到差或除法操作。 

  用关系代数表示数据查询的典型例子

      [例]设教学数据库中有3个关系：
          学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)
          学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)
          课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

     下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。
    π_SNO，GRADE(σ _CNO=‘C2‘(SC))

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名
   π_SNO，SNAME(σ _CNO=‘C2‘(SSC))
    由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：
    π_SNO，SNAME（S）（π_SNO(σ _CNO=‘C2‘(SC))）
    这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。
    π_SNO，SANME(σ _{CNAME=‘MATHS‘}(SSCC))

（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。
    π_SNO(σ _{CNO=‘C2‘∨CNO=‘C4‘}(SC))

（5） 检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。
    π₁(σ_{1=4∧2=‘C2‘∧5=‘C4‘}（SC×SC）)
      这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果关系中的属性序号。

  比较这一题与上一题的差别。

（6） 检索不学C2课的学生姓名与年龄。
    π_SNAME，AGE（S）－π_SNAME，AGE(σ _CNO=‘C2‘（SSC）)
    这个表达式用了差运算，差运算的左分量为"全体学生的姓名和年龄"，右分量为"学了C2课的学生姓名与年龄"。

（7）检索学习全部课程的学生姓名。
编写这个查询语句的关系代数过程如下：
(a) 学生选课情况可用π_SNO,CNO(SC)表示；
(b) 全部课程可用π_CNO(C)表示；
(c) 学了全部课程的学生学号可用除法操作表示。
        操作结果为学号SNO的集合，该集合中每个学生（对应SNO)与C中任一门课程号CNO配在一起都在π_SCO，CNO（SC） 中出现（即SC中出现），所以结果中每个学生都学了全部的课程（这是"除法"操作的含义）：
    π_SNO,CNO(SC)÷π_CNO(C)
(d) 从SNO求学生姓名SNAME，可以用自然连结和投影操作组合而成：
    π_SNAME(S  (π_SNO,CNO(SC)÷π_CNO(C)))
这就是最后得到的关系代数表达式。

（8） 检索所学课程包含S3所学课程的学生学号。
注意：学生S3可能学多门课程，所以要用到除法操作来表达此查询语句。
      学生选课情况可用操作  π_SNO,CNO(SC)表示；
      所学课程包含学生S3所学课程的学生学号，可以用除法操作求得：
    π_SNO,CNO(SC)÷  π_CNO(σ _SNO=‘S3‘(SC)）

 
（9） 将新课程元组（‘C10‘,‘PHYSICS‘,‘YU‘）插入到关系C中
    (C∪(‘C10‘,‘PHYSICS‘,‘YU‘))

（10） 将学号S4选修课程号为C4的成绩改为85分。
    （SC-（‘S4‘,‘C4‘,?)∪(‘S4‘,‘C4‘,85)）
    修改操作用代数表示分两步实现：先删去原元组，再插入新元组。题目中未给出原先的成绩，所以用"？"代替，检索时可忽略。

2.2.4 扩充的关系代数操作 
考核要求：达到“识记”层次 
知识点：了解“外联接”和“外部并”的含义

注意：（1）“外联接”、“左外联接”、“右外联接”和“自然连接”的差异。 
（2）“外部并”和“并”的差异

2.2 关系代数运算

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