动态规划--换零钱

题目描述

想兑换100元钱，有1,2,5,10四种钱，问总共有多少兑换方法

递归解法

#include<iostream>
using namespace std; 

const int N = 100;  
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};  
int arr[N+1] = {1};  

int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解
{  
  if (n == 0)   //跳出递归的条件
    return 1;  
  if (n < 0 || m == 0)  
    return 0; 

  return (coinExchangeRecursion(n, m-1) + coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m));  
  //分为两种情况:换取当前面值的情况 + 没有换取当前面值的情况
}

int main()
{
  int num=coinExchangeRecursion(N, 4); 
  cout<<num<<endl; 

  return 0; 

}

非递归解法

#include<iostream>
using namespace std; 

const int N = 100;  
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};  
int arr[N+1] = {1};  

int coinExchange(int n)   //非递归实现
{  
  int i, j;  
  //i从0 ~ 3     因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次
  for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++)
  {  
    for (j = dimes[i]; j <= n; j++)   
      //求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，
      //对应着上面的递归方式：arr[j]就是coinExchangeRecursion(n, m-1)，
      //arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)
      arr[j] += arr[j-dimes[i]];  

  }  
  return arr[n];  
}  


int main()
{
  int num2=coinExchange(N); 
  cout<<num2<<endl; 

  return 0;
}

方法总结

动态规划的经典之处把大问题分解成几个小问题解决
递归算法:100元的换法:零钱中有此面值与零钱中没此面值的两种情况，注意递归结束的条件
非递归算法:换100的零钱,那么先从换1、2、……的零钱算起,这个算法,最好转换成台阶走法的问题来理解
仔细推理可以看出arr[j] = arr[j-dimes[0]] + arr[j-dimes[1]] + arr[j-dimes[2]] + arr[j-dimes[3]] (j-dimes[i]>=0)

#include<iostream>
#include<vector>     //std::vector
#include <algorithm> //std::count
using namespace std; 

const int N = 100;  
int dimes[] = {1, 2, 5, 10};  
int arr[N+1] = {1}; 
vector<int> vv; 

int coinExchangeRecursion(int n, int m) //递归方式实现，更好理解
{  
    if (n == 0) {
        int i;
        for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++) {
            int cnt = count(vv.begin(), vv.end(), dimes[i]);
            cout << dimes[i] << ": " << cnt << "\t";
        }
        cout  << endl;
        return 1;  
    }   //跳出递归的条件
    if (n < 0 || m == 0)  
    return 0;
    vv.push_back(dimes[m-1]);
    int yes = coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m);
    vv.pop_back();
    int no = coinExchangeRecursion(n, m-1);
    return (no+yes);  
    //分为两种情况，如果没有换当前硬币，那么是多少？加上，如果换了当前硬币，总值减少，此时又是多少种兑换方法？
}

int coinExchange(int n)   //非递归实现
{  
    int i, j;  
    for (i = 0; i < sizeof(dimes)/sizeof(int); i++)   //i从0 ~ 3     因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了dimes[i]，所以我们要遍历一次
    {  
        for (j = dimes[i]; j <= n; j++)   
            //求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-dimes[i]]，
            //对应着上面的递归方式：arr[j]就是 coinExchangeRecursion(n, m-1)，
            //arr[j-dimes[i]]就是coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)
            arr[j] += arr[j-dimes[i]];  
    }  
    return arr[n];  
}  

int main(int argc, char *argv[])
{
    int num=coinExchangeRecursion(N, 4); 
    cout<<num<<endl; 

    int num2=coinExchange(N); 
    cout<<num2<<endl; 

    return 0; 
}

参考:

• http://www.tuicool.com/articles/VBreAnY
• http://taop.marchtea.com/02.05.html