四边形不等式优化石子合并Codevs3002题解

• 题目描述 Description
  有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。

• 输入描述 Input Description
  第一行一个整数n（$n\le3000$）
  第二行n个整数$w_1,w_2...w_n (w_i\le3000)$

• 输出描述 Output Description
  一个整数表示最小合并代价

• 样例输入 Sample Input
  4
  4 1 1 4

• 样例输出 Sample Output
  18

• 题解
  写出来普通的区间dp方程，发现时间复杂度是$O(n^3)$的，不能通过本题。这种题可以使用四边形不等式优化。
  有一篇叫“动态规划加速原理之四边形不等式”的文章对四边形不等式介绍得很好。
  形如本题的状态转移方程都可以用四边形不等式优化，这里不再证明。（实在不会证可以拿优化过的和裸dp的对拍啊，四边形不等式不难写）
  这里介绍一下边界：
  只有一堆石子时，$f(i,i)=0$，$f(i,i)$的最大值在$i$处取到，所以$f(i,i)$对应决策变量最大值为$s(i,i)=i$。
  只要分析好边界的值是自变量等于什么时取到的，自然可以得到决策变量最大值的边界。以后转移时只需在更新$f$的同时更新$s$即可。

• Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 3010, oo = 1000000000;
int f[maxn][maxn], s[maxn][maxn];
int n, a[maxn], w[maxn][maxn];
void init()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        w[i][i] = a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
        w[i][j] = w[i][j - 1] + a[j];
}
void work()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) s[i][i] = i;
    for(int p = 1; p < n; ++p)  for(int i = 1; i <= n - p; ++i)
    {
        int j = i + p;
        f[i][j] = oo;
        for(int k = s[i][j - 1]; k <= s[i + 1][j]; ++k)
            if(f[i][j] > f[i][k] + f[k + 1][j] + w[i][j])
            {
                f[i][j] = f[i][k] + f[k + 1][j] + w[i][j];
                s[i][j] = k;
                //因为这里k是递增的，所以不用取max
            }
    }
    printf("%d", f[1][n]);
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}