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今天花了一个多小时终于把乘法逆元捣鼓明白了 鉴于我拙计的智商抓紧把这些记录下来 在此本栏目鸣谢里奥姑娘和热心网友himdd的帮助和支持
那么正文开始···
逆元是干什么的呢？
因为（a/b）mod p ≠(a mod p)/(b mod p)
我们需要想一种方法避免高精
那就是把除法转化为乘法 因为(a*b) mod p = ( a mod p ) *( b mod p )
怎么转化呢？逆元出现了。
若对于数字A,C 存在X，使A * X = 1 (mod C) ,那么称X为 A 对C的乘法逆元。
说白了，除以一个数取模的话，和乘以这个数的逆元取模效果是一样的。
为什么效果一样？让我们来看下面的例子:
12 / 4 mod 7 = ? , 很显然结果是3
我们现在对于数对 (4,7), 可以知道 X = 2是 4 对7的乘法逆元即2*4=1（mod 7)
那么我们有(12 / 4) * (4 * 2 ) = (?) * (1) (mod 7)
除法被完美地转化为了乘法
理论依据:
F / A mod C = ?
如果存在 A*X = 1 (mod C)//为什么是1，因为上面乘法中(?)
* (1) (mod 7)应该是1这个数才会不变
那么2边同时乘起来,得到 F * X = ? (mod C)
现在我们知道，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模 接下来就是求逆元了 求逆元其实就是求使A*X = 1 (mod C)成立的X，其中A是除法中的除数
欧拉定理-费马小定理告诉我们：如果a与p互质，则a^phi(p)=1 (mod p);特别地，当p是质数，a^(p-1)=1 (mod p) 因为此时phi(p)=p-1
由于a^phi(p)=1 (mod p) （意思是a^phi(p) mod p =1）
所以a*a^(phi(p)-1)=1 (mod p) 也就是说 对比我们可以看出X就是(phi(p)-1)
我们用X表示a的逆元 那么它等于a的phi(p)-1次方
而我们又可以证明：当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
（互质唯一解不互质无解，虽然我也不明白为什么，王若松前辈课件上也没讲明白，以后再问问吧（其实可以请教常学霸的···））
而事实上，逆元属于群论的范畴，但鄙人的群论知识基本为0，因此遥指度受
那么我们到底该如何求除法取模呢？b/a mod c 1.筛法求欧拉函数表O(nlogn) 2.快速幂求出每个函数的逆元O(logn)*枚举要求的数O(n)=O(nlogn) 合计O(2nlogn)=O(nlogn)
这是用费马小定理求 当然也可以用扩展欧几里得 但我还不大明白 再慢慢学
热烈欢迎好人TY君回到XB组的窝哼(ˉ(∞)ˉ)唧
——江山代有才人出，各领风骚数百年
【日常学习】乘法逆元&&欧拉定理&&费马小定理&&欧拉函数应用&&常大学霸
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