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大话数据结构—平衡二叉树(AVL树)

时间:2015-06-09 23:48:22      阅读:414      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:大话数据结构   数据结构   平衡二叉树   avl树   

平衡二叉树(Self-Balancing Binary Search Tree/Height-Balanced Binary Search Tree),是一种二叉排序树,其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1.

平衡二叉树的前提是二叉排序树,不是二叉排序树的都不是平衡二叉树。
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平衡因子BF(Balance Factor):二叉树上节点的左子树深度减去右子树深度的值。

最小不平衡子树:距离插入节点最近的,且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树。
下图中,新插入节点37时,距离它最近的平衡因子绝对值超过1的节点是58,所以从58开始以下的子树为最小不平衡子树。
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实现原理
构建二叉排序树的过程中,每当插入一个节点时,先检查是否因插入而破坏了树的平衡性,若是,则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下,调整最小不平衡子树中各个节点之间的链接关系,进行相应的旋转,使之成为新的平衡子树。
a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}

插入3,2,1时,右旋一次,插入4,5左旋一次
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插入6,左旋一次,插入7,左旋一次
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插入10,9时,不是简单的左旋,这时要统一BF。7的BF=-2,10的BF=1,一正一负,符号不统一。先对9,10右旋,再以7为最小不平衡子树左旋
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得到图13后,插入8,和上面类似
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实现算法

右旋算法

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    int bf; /*  结点的平衡因子 */ 
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;


/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理, */
/* 处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree L;
    L=(*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */ 
    (*P)->lchild=L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */ 
    L->rchild=(*P);
    *P=L; /*  P指向新的根结点 */ 
}

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左旋算法类似。

左平衡旋转处理算法

#define LH +1 /*  左高 */ 
#define EH 0  /*  等高 */ 
#define RH -1 /*  右高 */ 

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时,指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree L,Lr;
    L=(*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */ 
    switch(L->bf)
    { /*  检查T的左子树的平衡度,并作相应平衡处理 */ 
         case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上,要作单右旋处理 */ 
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            R_Rotate(T);
            break;
         case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上,要作双旋处理 */ 
            Lr=L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */ 
            switch(Lr->bf)
            { /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */ 
                case LH: (*T)->bf=RH;
                         L->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
                         break;
                case RH: (*T)->bf=EH;
                         L->bf=LH;
                         break;
            }
            Lr->bf=EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */ 
            R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */ 
    }
}

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右平衡旋转处理算法类似。


附加源码

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */ 


/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    int bf; /*  结点的平衡因子 */ 
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;


/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理, */
/* 处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree L;
    L=(*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */ 
    (*P)->lchild=L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */ 
    L->rchild=(*P);
    *P=L; /*  P指向新的根结点 */ 
}

/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理, */
/* 处理之后P指向新的树根结点,即旋转处理之前的右子树的根结点0  */
void L_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree R;
    R=(*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */ 
    (*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */ 
    R->lchild=(*P);
    *P=R; /*  P指向新的根结点 */ 
}

#define LH +1 /*  左高 */ 
#define EH 0  /*  等高 */ 
#define RH -1 /*  右高 */ 

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时,指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree L,Lr;
    L=(*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */ 
    switch(L->bf)
    { /*  检查T的左子树的平衡度,并作相应平衡处理 */ 
         case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上,要作单右旋处理 */ 
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            R_Rotate(T);
            break;
         case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上,要作双旋处理 */ 
            Lr=L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */ 
            switch(Lr->bf)
            { /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */ 
                case LH: (*T)->bf=RH;
                         L->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
                         break;
                case RH: (*T)->bf=EH;
                         L->bf=LH;
                         break;
            }
            Lr->bf=EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */ 
            R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */ 
    }
}

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理, */ 
/*  本算法结束时,指针T指向新的根结点 */ 
void RightBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree R,Rl;
    R=(*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */ 
    switch(R->bf)
    { /*  检查T的右子树的平衡度,并作相应平衡处理 */ 
     case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上,要作单左旋处理 */ 
              (*T)->bf=R->bf=EH;
              L_Rotate(T);
              break;
     case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上,要作双旋处理 */ 
              Rl=R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */ 
              switch(Rl->bf)
              { /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */ 
                case RH: (*T)->bf=LH;
                         R->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
                         break;
                case LH: (*T)->bf=EH;
                         R->bf=RH;
                         break;
              }
              Rl->bf=EH;
              R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */ 
              L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */ 
    }
}

/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点,则插入一个 */ 
/*  数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ 
/*  失去平衡,则作平衡旋转处理,布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{  
    if(!*T)
    { /*  插入新结点,树“长高”,置taller为TRUE */ 
         *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
         (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
         *taller=TRUE;
    }
    else
    {
        if (e==(*T)->data)
        { /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */ 
            *taller=FALSE; return FALSE;
        }
        if (e<(*T)->data)
        { /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */ 
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /*  未插入 */ 
                return FALSE;
            if(taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */ 
                switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ 
                {
                    case LH: /*  原本左子树比右子树高,需要作左平衡处理 */ 
                            LeftBalance(T); *taller=FALSE; break;
                    case EH: /*  原本左、右子树等高,现因左子树增高而使树增高 */ 
                            (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;
                    case RH: /*  原本右子树比左子树高,现左、右子树等高 */  
                            (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
                }
        }
        else
        { /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */ 
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /*  未插入 */ 
                return FALSE;
            if(*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */ 
                switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ 
                {
                    case LH: /*  原本左子树比右子树高,现左、右子树等高 */ 
                            (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
                    case EH: /*  原本左、右子树等高,现因右子树增高而使树增高  */
                            (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;
                    case RH: /*  原本右子树比左子树高,需要作右平衡处理 */ 
                            RightBalance(T); *taller=FALSE; break;
                }
        }
    }
    return TRUE;
}

int main(void)
{    
    int i;
    int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
    BiTree T=NULL;
    Status taller;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        InsertAVL(&T,a[i],&taller);
    }
    printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
    return 0;
}

大话数据结构—平衡二叉树(AVL树)

标签:大话数据结构   数据结构   平衡二叉树   avl树   

原文地址:http://blog.csdn.net/wtyvhreal/article/details/46432487

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