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关于欧拉通路、欧拉回路的一些定义：
无向图：
G是一个连通的无向图
（1）经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路（起点和终点不一定要一样）。
（2）如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个），则为欧拉回路。
（3）具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图。
有向图：
D是一个有向图，D的基图（把D的有向边改为无向边）是连通的
（1）经过D的每条边一次并且仅一次的路径称为有向欧拉通路（起点和终点不一定一样）。
（2）如果有向欧拉通路是回路（起点和终点一样），那么称为有向欧拉通路。
（3）具有有向欧拉通路的有向图D称为有向欧拉图。
关于欧拉通路、欧拉回路的判定：
无向图G存在欧拉通路的充分必要条件：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的节点）或者无奇度结点。
推论1：当无向图G是有两个奇度的连通图时，G的欧拉通路必定以这两个结点为端点。
推论2：当无向图G是无奇度的连通图时，G必有欧拉回路。
推论3：无向图G存在欧拉回路的充分必要条件：G为无奇度结点的连通图。
有向图D存在有向欧拉通路的充分必要条件：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等（情况1）；或者除了两个定点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中，一个顶点的出度与入度之差为1，另一个出度与入度只差为-1（情况2）。
推论（1）：情况1说明存在的是有向欧拉回路。
推论（2）：情况2说明存在的是有向欧拉通路，通路以出度与入度之差为1的顶点作为起点，以出度与入度之差为-1的顶点作为终点。
推论（3）：有向图D存在有向欧拉回路的充分必要条件：D的基图为连通图，并且所有顶点的出入与入度都相等。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zufezzt/p/4569064.html
