kd树（k-dimensional tree)(1)

　　kd树（k-dimensional树的简称），是一种分割k维数据空间的数据结构。主要应用于多维空间关键数据的搜索（如：范围搜索和最近邻搜索）。
　　索引结构中相似性查询有两种基本的方式：一种是范围查询（range searches），另一种是K近邻查询（K-neighbor searches）。范围查询就是给定查询点和查询距离的阈值，从数据集中找出所有与查询点距离小于阈值的数据；K近邻查询是给定查询点及正整数K，从数据集中找到距离查询点最近的K个数据，当K=1时，就是最近邻查询（nearest neighbor searches）。
　　一般有两类方法：一类是线性扫描法，即将数据集中的点与查询点逐一进行距离比较，也就是穷举，缺点很明显，就是没有利用数据集本身蕴含的任何结构信息，搜索效率较低，第二类是建立数据索引，然后再进行快速匹配。因为实际数据一般都会呈现出簇状的聚类形态，通过设计有效的索引结构可以大大加快检索的速度。索引树属于第二类，其基本思想就是对搜索空间进行层次划分。根据划分的空间是否有混叠可以分为Clipping和Overlapping两种。前者划分空间没有重叠，其代表就是k-d树；后者划分空间相互有交叠，其代表为R树。
　　在数据库系统中，我们可能要查询生日在某个范围中并且薪水在某个范围的人数，这可以看做一个二维的查询，kd树就是为多维空间关键数据的快速查询搜索设计的:

　　尽管可以创建一个任何维数的kd树，但是一个kd树中存储的数据必须具有同样的维数，比如你不能存储二维空间的数据在三维空间的kd树中。
　　Kd树是二叉树，对于n个点，O(n)的空间和O(lgn)的高度（如果平衡的话）
　　
　　创建一个二维的kd树（2d树）：
　　At each step, choose one of the coordinate as a basis of dividing the rest of the points
　　? For example, at the root, choose x as the basis
　　　– Like binary search trees, all items to the left of root will have the x-coordinate less than that of the root
　　　– All items to the right of the root will have the x-coordinate　greater than (or equal to) that of the root
　　? Choose y as the basis for discrimination for the root’s children
　　? And choose x again for the root’s grandchildren

　　其实就是通过x，y对空间不断分割，其实二叉搜索树也是这样的，只不过它是一维的而已。

const int DIMEN = 2;
kdNode　insert (point p, kdNode　t, int dimen) {
　　if(t == 0) 
　　　　t = new kdNode(p) ;
　　else if (p == t.data ) ……
　　else if (p[dimen] < t.data[dimen])
　　　　t.left = insert (p, t.left, (dimen+1)%DIMEN );
　　else
　　　　t.right =insert (p, t.right, (dimen+1)%DIMEN);
　　return t ;
}

? 查找一个指定维数上的最小值，如拥有最小x的值：

Point findmin (kdNodet, int whichAxis, int dimen) {
　　if(t == 0) 
　　　　return 0;
　　else if ( whichAxis == dimen)
　　{
　　　　if (t.left == 0) return t.data;
　　　　else 
　　　　return findmin (t.left, whichAxis,(dimen+1)%DIMEN );
　　}
　　else 
　　return minimum(t.data, findmin(t.left, whichAxis,(dimen+1)%DIMEN),findmin(t.right,whichAxis,(dimen+1)%DIMEN)) ;
}

? 如果树是平衡的, findmin (root): O(sqrt(n)) time in the worst case.

删除节点：

kdNode remove ( kdNode t, Point p, int dimen) {
　　if ( t == 0 ) 
　　　　return 0 ;
　　else if ( p[dimen] < t.data[dimen] ) 
　　　　t.left = remove (t.left, p, (dimen+1)%DIMEN);
　　else if( p[dimen] > t.data[dimen] ) 
　　　　t.right = remove(t.right, p, (dimen+1)%DIMEN);
　　else {
　　　　if( t.right == 0 && t.left == 0 ) 
　　　　　　return 0 ;
　　　　if( t.right ! = 0 )
　　　　　　t.data = findmin(t.right, dimen, (dimen+1)%DIMEN);
　　　　else {
　　　　　　t.data = findmin(t.left, dimen, (dimen+1)%DIMEN);
　　　　　　t.left = 0 ;
　　　　}
　　　　t.right = remove ( t.right , t.data , (dimen+1)%DIMEN);
　　　　return t ;
　　}
}

　　删除叶子上的点，如果树是平衡的, remove() takes O(log n) time。