《编程珠玑》阅读小记（9） — 取样问题

问题

本章研究的问题是取样问题，也就是程序设计中的随机数，问题描述如下：
程序的输入包含两个整数m和n，其中 m < n；输出是0~n-1范围内m个随机整数的有序列表，不允许重复。从概率的角度看，我们希望没有重复的有序选择，其中每个选择出现的概率相等。
条件假设：
我们假设有一个能返回很大的随机整数（远远大于m 和 n ）的函数bigrand()，以及一个能返回i…j范围内均匀选择的随机整数的randint(i,j)。
本章关于这个问题提供了三种算法，接下来详细叙述每个算法的程序实现。

算法1

该算法依次考虑0，1,2，…，n-1 ， 并通过一个适当的随机测试对每个整数进行选择。通过按序访问整数，我们可以保证输出结果是有序的。
代码实现如下：

/************************************************************************/
/* 《编程珠玑》第十二章 取样问题
 * 问题：程序的输入包含两个整数m和n，其中m<n。输出是0~n-1范围内m个随机整数的有序列表，不允许重复
 * 方案一
 */
/************************************************************************/

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>

using namespace std;

/************************************************************************/
/* 返回一个很大的随机整数（远大于m和n）                                 */
/************************************************************************/
int bigRand()
{
    return RAND_MAX * rand() + rand();
}

/************************************************************************/
/* 返回一个位于l与u之间的均匀选择的随机整数                             */
/************************************************************************/
int randint(int l , int u)
{
    return l + bigRand() % (u - l + 1);
}

/************************************************************************/
/* 解决问题的算法1                                                      */
/************************************************************************/
void rand1(int m, int n)
{
    int select = m, remaining = n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if ((bigRand() % remaining) < select)
        {
            cout << i << "\t";
            select--;
        }
        remaining--;
    }
    cout << endl;
}

int main()
{
    int m = 5, n = 10;
    while (cin >> n >> m)
    {
        rand1(m, n);
    }

    system("pause");
    return 0;
}

对于该算法，只要m<=n，程序选出的整数就恰好为m个，不会选择更多的整数，因为select变为0的时候，就不能选择整数了；也不会选择更少的整数，因为select/remaining为1的时候，一定会选中一个整数。以上代码中，我们可以看出，每个子集被选中的概率是相同的。
对于该算法，程序实现只需要占用几十个字节的内存，而且可以快速解决问题。但是，当n很大的时候，代码运行就是相对较慢。

算法2

我们知道，C++标准程序库中的集合set有两个重要性质，集合内元素不重复，集合内元素有序排列（默认升序）。对于求随机数的问题，可以利用set的性质，向一个初始为空的set中插入随机整数知道数量达到要求为止。
算法实现如下：

/************************************************************************/
/* 《编程珠玑》第十二章 取样问题
* 问题：程序的输入包含两个整数m和n，其中m<n。输出是0~n-1范围内m个随机整数的有序列表，不允许重复
* 方案二
*/
/************************************************************************/

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <set>

using namespace std;

/************************************************************************/
/* 返回一个很大的随机整数（远大于m和n）                                 */
/************************************************************************/
int bigRand()
{
    return RAND_MAX * rand() + rand();
}

/************************************************************************/
/* 返回一个位于l与u之间的均匀选择的随机整数                             */
/************************************************************************/
int randint(int l, int u)
{
    return l + bigRand() % (u - l + 1);
}

/************************************************************************/
/* 解决问题的算法2                                                     */
/************************************************************************/
void rand2(int m, int n)
{
    set<int> s;
    while (s.size() < m)
    {
        s.insert(bigRand() % n);
    }

    set<int>::iterator iter;
    for (iter = s.begin(); iter != s.end(); iter++)
        cout << *iter << "\t";
    cout << endl;   
}

int main()
{
    int m = 5, n = 10;
    while (cin >> n >> m)
    {
        rand2(m, n);
    }

    system("pause");
    return 0;
}

C++标准模板库规范每次插入操作都在O(logm)的时间内完成，而遍历集合则需要O(m)时间，因此完整的程序需要O(mlogm)时间。但是该数据结构空间开销比较大。

算法3

生成随机整数的有序子集的另一种方法是把包含整数0~n-1的数组顺序打乱，然后把前m个元素排序输出。
算法实现如下：

/************************************************************************/
/* 《编程珠玑》第十二章 取样问题
* 问题：程序的输入包含两个整数m和n，其中m<n。输出是0~n-1范围内m个随机整数的有序列表，不允许重复
* 方案三
*/
/************************************************************************/

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>

using namespace std;

/************************************************************************/
/* 返回一个很大的随机整数（远大于m和n）                                 */
/************************************************************************/
int bigRand()
{
    return RAND_MAX * rand() + rand();
}

/************************************************************************/
/* 返回一个位于l与u之间的均匀选择的随机整数                             */
/************************************************************************/
int randint(int l, int u)
{
    return l + bigRand() % (u - l + 1);
}

/************************************************************************/
/* 解决问题的算法3                                                      */
/************************************************************************/
void rand3(int m, int n)
{
    int *x = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        x[i] = i;
    }

    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int j = randint(i, n - 1);
        int t = x[i];
        x[i] = x[j];
        x[j] = t;
    }

    sort(x, x + m);

    for (int i = 0; i < m; i++)
        cout << x[i] << "\t";
    cout << endl;
}

int main()
{
    int m = 5, n = 10;
    while (cin >> n >> m)
    {
        rand3(m, n);
    }

    system("pause");
    return 0;
}

上述算法需要n个元素的存储空间，以及O(n+mlogm)的运行时间。

原理

本章示例了编程过程中的几个重要步骤，在实际应用的算法设计以及程序实现时，我们必须遵循以下原理：

• 正确理解所遇到的问题
• 提炼出抽象问题，简洁、明确的问题陈述不仅可以帮助我们解决当前遇到的问题，还有助于我们把解决方案应用到其他问题中；
• 考虑尽可能多的解法，非正式的高级语言可以帮助我们描述设计方案：伪代码表示控制流，抽象数据类型表示关键的数据结构。
• 实现一种解决方案
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