图像处理复习

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CH4 基本图像变换

4.1 DFT

（1）一维DFT

一维DFT：
$F(u)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1} f(x)e^{-j2\pi \frac{ux}{N}},x=0,1,…,N-1$

其逆变换：
$f(x)=\sum_{u=0}^{N-1} F(u)e^{j2\pi \frac{ux}{N}},u=0,1,…,N-1$

（2）二维DFT

二维DFT：
$F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)e^{-j2\pi \frac{ux+vy}{N}},u,v=0,1,…,N-1$

其逆变换：
$f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v)e^{j2\pi \frac{ux+vy}{N}},x,y=0,1,…,N-1$

$F(u,v)=|F(u,v)|\cdot e^{j\phi (u,v)}=R(u,v)+jI(u,v)$，其中有

• 振幅$|F(u,v)|=\sqrt{R^2(u,v)+I^2(u,v)}$
• 相位角$\phi (u,v)=\arctan\frac{I(u,v)}{R(u,v)}$

显示频谱时一般用动态范围大的$|F(u,v)|$，并做对数变换：$D=log(|F(u,v)|+1)$

（2）二维DFT的性质

1.分离性

先对图像在Y方向做N次1DDFT再在X方向做N次1DDFT：

$$F(x,v)=N[\frac{1}{N}\sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)e^{-j2\pi \frac{vy}{N}}] \\\F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1} F(x,v)e^{-j2\pi \frac{ux}{N}}$$

2.位移定理

若$f(x,y)\Leftrightarrow F(u,v)$，则有：

$$f(x,y)e^{j2\pi \frac{u_0x+v_0y}{N}}\Leftrightarrow F(u-u_0,v-v_0) \\\f(x-x_0,y-y_0)\Leftrightarrow F(u,v)e^{-j2\pi \frac{ux_0+vy_0}{N}}$$

挑选下式证明如下：

$$\begin{align} \mathcal{F^{-1}}[F(u,v)e^{-j2\pi \frac{ux_0+vy_0}{N}}] &=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v)e^{j2\pi \frac{ux+vy}{N}}\cdot e^{-j2\pi \frac{ux_0+vy_0}{N}} \\\&=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v)e^{j2\pi \frac{u(x-x_0)+v(y-y_0)}{N}} \\\&=f(x-x_0,y-y_0) \end{align}$$

3.周期性

$$F(u,v)=F(u+N,v+N)$$

证明：

$$\begin{align} F(u+N,v+N)&=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)e^{-j2\pi \frac{(u+N)x+(v+N)y}{N}} \\\&=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)e^{-j2\pi \frac{ux+vy}{N}}\cdot e^{-j2\pi (x+y)} &=F(u,v) \cdot 1 &=F(u,v) \end{align}$$

4.共轭对称性

$$F(u,v)=F^*(-u,-v)\\\|F(u,v)|=|F(-u,-v)|$$

共轭对称性由e的指数显然可证

5.旋转性

空域旋转多少度，频域也旋转多少度：

$$f(r,\theta) \Leftrightarrow F(\omega,\phi) \\\f(r,\theta + \theta_0) \Leftrightarrow F(\omega,\phi+\theta_0)$$

6.加法定理

$$\mathcal{F}[f(x,y)+g(x,y)]=\mathcal{F}[f(x,y)]+\mathcal{F}[g(x,y)] \\\\mathcal{F}[af(x,y)]=a\mathcal{F}[f(x,y)] \\\\mathcal{F}[af(x,y)+bg(x,y)]=a\mathcal{F}[f(x,y)]+b\mathcal{F}[g(x,y)] \\\$$

7.尺度变换

$$f(ax,by) \Leftrightarrow \frac{1}{|ab|}F(u/a,v/b)$$

证明需要从连续形式证明！

8.平均值

$$\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)=\frac{1}{N}F(0,0)$$

9.卷积定理

$$\mathcal{F}[f(x,y)\otimes g(x,y)]=F(u,v)\cdot G(u,v) \\\\mathcal{F}[f(x,y)\cdot g(x,y)]=F(u,v) \otimes G(u,v)$$

10.相关定理

$\oplus$定义为相关，则有相关定理：

$$\mathcal{F}[f(x,y)\oplus g(x,y)]=F^\*(u,v)\cdot G(u,v) \\\\mathcal{F}[f^\*(x,y)\cdot g(x,y)]=F(u,v) \otimes G(u,v)$$

若$f(x,y)=g(x,y)$，则称为自相关，自相关有：

$$\mathcal{F}[f(x,y)\oplus f(x,y)]=F^\*(u,v)\cdot F(u,v)=|F(u,v)|^2$$

其中$p(u,v)=|F(u,v)|^2$为功率谱函数

4.2 DCT

傅立叶变换中当变换函数是偶函数时，变换计算公式时只包含余弦项

余弦变换就是把变换函数负方向折叠成2N采样的偶函数后的特殊的傅立叶变换

（1）1DDCT

DCT离散余弦变换：

$$F(u)=c(u)\sqrt{\frac{2}{N}}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)cos[\frac{\pi}{2N}(2x+1)u]\\\c(u)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, u=0 \\\\ 1, u=1,2,...,N-1\end{cases}$$

反变换：

$$f(x)=\sqrt{\frac{2}{N}}\sum_{u=0}^{N-1}c(u)F(u)cos[\frac{\pi}{2N}(2x+1)u]\\\c(u)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, u=0 \\\\ 1, u=1,2,...,N-1\end{cases}$$

（2）2DDCT

二维：

$$F(u,v)=\frac{2}{N}c(u)c(v)\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)cos[\frac{\pi}{2N}(2x+1)u]cos[\frac{\pi}{2N}(2y+1)v]\\\f(x,y)=\frac{2}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}c(u)c(v)F(u,v)cos[\frac{\pi}{2N}(2x+1)u]cos[\frac{\pi}{2N}(2y+1)v]\\\c(u)=c(v)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, u,v=0 \\\\ 1, u,v=1,2,...,N-1\end{cases}$$

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CH5 频域增强

（1）低通滤波

频谱直流低频分量对应图像平滑区域，高频分量对应细节或添加噪声部分

低频滤波器就是使低频分量通过阻止高频分量通过的平滑滤波器，理想低通滤波器（ILPF）$H(u,v)$应满足：

$$H(u,v)=\begin{cases} 1,D(u,v)\leq D_0 \\\0,D(u,v)\gt D_0 \end{cases}\\\D_0为截止频率\\\D(u,v)=\sqrt{u^2+v^2} 为(u,v)到原点距离（距离越远频率越高）$$

确定$D_0$是通过计算大部分能量被包括时的半径，理想低频滤波器会产生严重的振铃效果（由于阶跃）

n阶巴特沃斯低通滤波器（BLPF）是一种平滑过渡的低通滤波器，n越大越接近ILPF，其传递函数如下：

$$H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_0]^{2n}}$$

此外还有指数低通滤波器（ELPF）$H(u,v)=e^{-[D(u,v)/D_0]^{n}}$，及梯形滤波器TLPF，下面是四种LPF的对比：

滤波器	振铃程度	模糊程度	噪声平滑效果
ILPF	严重	严重	最好
TLPF	较轻	轻	好
ELPF	无	较轻	一般
BLPF	无	很轻	一般

（2）高通滤波

高通滤波器和低通滤波器互补，是使高频分量通过阻止低频分量通过的锐化滤波器

IHPF：
$H(u,v)=\begin{cases} 0,D(u,v)\leq D_0 \\\1,D(u,v)\gt D_0 \end{cases}\\ D_0为截止频率\\ D(u,v)=\sqrt{u^2+v^2} 为(u,v)到原点距离（距离越远频率越高）$

BHPF：$H(u,v)=\frac{1}{1+[D_0/D(u,v)]^{2n}}$

IHBF：$H(u,v)=e^{-[D_0/D(u,v)]^{n}}$

对应的高通滤波器和低通滤波器有如下互补关系：

$$h_{hp}(u,v)=1-h_{lp}(u,v)$$

［习题］有一种常用的图像增强技术是将高频增强和直方图均衡化结合起来以达到使边缘锐化的反差增强效果，以上两个操作的先后次序对增强效果有影响吗？为什么？

答:高频增强是一种线性操作,直方图均衡化是一种非线性操作，所以先后次序对增强效果有影响，不能互换。先用直方图均衡后用高频增强效果会好一些，因为如果图像偏亮或者偏暗时，高频增强会减少一些灰度信息。

（3）带通和带阻滤波

带通滤波器是允许某一频率范围内的频率分量通过并阻止其他频段的分量，带阻滤波器是阻止某一频率范围内的频率分量通过而允许其他频段的分量

理想带阻滤波器是消除以$(u_0,v_0)$为中心，$D_0$为半径的所有频率分量如下：

$$H(u,v)= \begin{cases} 0,D_1(u,v) \leq D_0 或 D_2(u,v) \leq D_0 \\\1,D_1(u,v) \gt D_0 或 D_2(u,v) \gt D_0 \end{cases} \\\其中D_1(u,v)=\sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2},\\\D_2(u,v)=\sqrt{(u+u_0)^2+(v+v_0)^2}$$

$D_1(u,v)$比较好理解，$D_2(u,v)$不太清楚

常见的带阻滤波器是巴特沃斯带阻滤波器：

$$H(u,v)=\frac{1}{1+[\frac{D(u,v)}{D^2(u,v)-D_0^2}]^{2n}}$$

（4）同态滤波

同态滤波是通过压缩灰度值动态范围来增强对比度的频域滤波器，其滤波步骤如下：