LeetCode221:Maximal Square

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Given a 2D binary matrix filled with 0‘s and 1‘s, find the largest square containing all 1‘s and return its area.

For example, given the following matrix:

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

Credits:

Special thanks to @Freezen for adding this problem and creating all test cases.

求一个矩阵中全部包含1的最大正方形的面积。

解法一

动态的规划的核心是定义状态和状态转移方程：

设A[i][j]代表到下标为（i,j）的坐标处的全部为1的正方形的边长。

那么上面例子中的矩阵对应的A的矩阵是：

[1 0 1 0 0]

[1 0 1 1 1]

[1 1 1 2 1]

[1 0 0 1 0]

不难发现A[i][j]与A[i-1][j-1]和第i行及j列有关。

A[i][j]与从（i,j）开始第i行A[i-1][j-1]个元素中连续0的个数及从（i,j）开始第j列A[i-1][j-1]个元素中连续0的个数的最小值有关。如下图：

这个分析的方法其实不是很好，因为时间复杂程度是O(M*N*min(M,N))，空间复杂度是O(M*N)。M是矩阵的长度，N是矩阵的宽度。

runtime:16ms

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int height=matrix.size();
        if(height==0)
            return 0;
        int width=matrix[0].size();
        vector<vector<int>>  vec(height,vector<int>(width,0));
        int result=0;
        for(int i=0;i<height;i++)
        {
            for(int j=0;j<width;j++)
            {
                if(matrix[i][j]=='1')
                {
                    vec[i][j]=1;
                    if(i-1>=0&&j-1>=0)
                    {
                        int size=vec[i-1][j-1];
                        for(int k=1;k<=size;k++)
                        {
                            if(matrix[i-k][j]=='0'||matrix[i][j-k]=='0')
                            {
                                size=k-1;
                                break;
                            }
                        }
                        vec[i][j]+=size;
                    }
                }
                result=max(result,vec[i][j]);
            }
        }
        return result*result;
        
    }
};

解法二

然后看Discuss发现上面最里层的循环其实求的有点冤枉，因为A[i][j]表示的就是以(i,j)为右下角的最大的正方形的边长，所以不需要使用for循环，此时状态转移方程就明显很多了，不像解法1还有点模糊，甚至只能用文字描述。

如果matrix[i][j]为1，那么A[i][j]=min(A[i-1][j-1],A[i-1][j],A[i][j-1])+1；如果matrix[i][j]为0，那么A[i][j]为0。

查看这个方程就好理解多了。

如下图：

最大的正方形边长为max{A[i][j]}。

此时时间复杂程度是O(M*N)，空间复杂程度是O(M*N)。

runtime:14ms

    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int height=matrix.size();
        if(height==0)
            return 0;
        int width=matrix[0].size();
        vector<vector<int>>  vec(height,vector<int>(width,0));
        int result=0;
        for(int i=0;i<height;i++)
        {
            for(int j=0;j<width;j++)
            {
                if(matrix[i][j]=='1')
                {
                    vec[i][j]=1;
                    if(i>0&&j>0)
                        vec[i][j]+=min(min(vec[i-1][j],vec[i][j-1]),vec[i-1][j-1]);
                }
                result=max(result,vec[i][j]);
            }
        }
        return result*result;
        
    }

解法三

然后发现了可以对空间复杂度进行改进的方法：

从上面解法二可以看出A[i][j]只与A[i-1][j]，A[i][j-1],A[i-1][j-1]有关，即只与当前一列和上一列有关，所以可以只使用含有两个矩阵宽度长的向量来保存数据即可。这样时间复杂度是O(M*N)，空间复杂度是O(N)。

runtime：15ms

    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int height=matrix.size();
        if(height==0)
            return 0;
        int width=matrix[0].size();
        vector<vector<int>>  vec(2,vector<int>(width,0));
        int result=0;
        for(int i=0;i<height;i++)
        {
            for(int j=0;j<width;j++)
            {
                vec[i%2][j]=0;//注意这里需要对其进行清空
                if(matrix[i][j]=='1')
                {
                    vec[i%2][j]=1;
                    if(i>0&&j>0)
                        vec[i%2][j]+=min(min(vec[(i-1)%2][j],vec[i%2][j-1]),vec[(i-1)%2][j-1]);
                }
                result=max(result,vec[i%2][j]);
            }
        }
        return result*result;
        
    }

LeetCode中的参考的解法：https://leetcode.com/discuss/39403/simple-and-efficient-implementation-using-dp-in-c

https://leetcode.com/discuss/38489/easy-solution-with-detailed-explanations-8ms-time-and-space

LeetCode221:Maximal Square

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原文地址：http://blog.csdn.net/u012501459/article/details/46553139