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可能是因为当年本科学的是微积分，级数部分讲的不多，现在这部分习题做起来真的很困难，有不少题目想了很长时间,现在在这里练一练，做个记录.
4.设$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\left|{\rm arg}z_{n}\right|\leq\alpha,\forall n\in\mathbb N$.证明级数$\sum z_{n},\sum{\rm Re}z_{n},\sum|z_{n}|$有相同的敛散性.
证明 假设$\sum z_{n}$收敛,显然$\sum{\rm Re}z_{n}$也收敛,来证明$\sum|z_{n}|$也收敛.因为$$\frac{|z_{n}|}{{\rm Re}z_{n}}=\frac{1}{\cos\theta_{n}}\leq\frac{1}{\cos\alpha}$$
所以$\sum|z_{n}|$收敛.
再假设$\sum{\rm Re}z_{n}$收敛,则有前面的过程可得$\sum|z_{n}|$收敛,进一步$\sum z_{n}$也收敛.
上面的论述说明了三个级数同时收敛.自然也就同时发散.
5.设${\rm Re}z_{n}\geq0,\forall n\in\mathbb N$,证明若$\sum z_{n},\sum z_{n}^{2}$都收敛,则$\sum|z_{n}|^2$也收敛.
证明 设$z_{n}=r_{n}e^{i\theta_{n}},\theta_{n}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$,由$\sum z_{n}$收敛可以知道$\sum r_{n}\cos\theta_{n}$也收敛,而他是正项级数,因而$\sum r_{n}^2\cos^2\theta_{n}$也收敛;再根据$\sum z_{n}^{2}$收敛知如下级数收敛$$\sum r_{n}^2\cos2\theta_{n}=\sum r_{n}^2\left(\cos^2\theta_{n}-\sin^2\theta_{n}\right)$$
收敛，因此$\sum r_{n}^2\sin^2\theta_{n}$也收敛,相加即得$\sum r_{n}^2=\sum|z_{n}|^2$收敛.
11.证明$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n-z}$在$\mathbb C\setminus\mathbb N$上内闭一致收敛.
证明 任取紧集$\mathbb K\subset\mathbb C\setminus\mathbb N$,我们来证明级数在$\mathbb K$上一致收敛.任取$z_{0}\in\mathbb K$,存在充分小的邻域$B_{0}=B(z_{0},r_{0})\subset\mathbb C\setminus\mathbb N$,来证级数在$B_{0}$上一致收敛.
如果令$z=x+iy$,则$$(-1)^{n-1}\frac{1}{n-z}=(-1)^{n-1}\frac{n-x}{n^2-2nx-|z|^2}+i(-1)^{n-1}\frac{y}{n^2-2nx-|z|^2}$$
根据函数项级数的Dirchlet判别法可以知道上面的级数的实部和虚部均在$B_{0}$中一致收敛.所以$\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n-z}$也在$B_{0}$中一致收敛.当$z_{0}$遍历$\mathbb K$时可得到$\mathbb K$的无限开覆盖$\mathscr B$,由$\mathbb K$的紧性知道可从$\mathscr B$中取出有限个$B_{k},(k=1,2,\cdots,n)$覆盖住$\mathbb K$,而级数在每个$B_{k}$上一致收敛,所以在$\cup_{k=1}^{n}B_{k}$上一致收敛,也在$\mathbb K$上一致收敛.
由$\mathbb K$的任意性,所以原来的级数在$\mathbb C\setminus\mathbb N$中内闭一致收敛.
12.设$\sum f_{n}(z)$是区域$D$中的全纯函数项级数,设$\sum{\rm Re}f_{n}(z)$在$D$中内闭一致收敛,则$\sum{\rm Im}f_{n}(z)$在$D$上或者内闭一致收敛,或者在$D$上处处发散.
证明 还没想出来！
13.
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原文地址：http://www.cnblogs.com/qq3232361332/p/4587506.html
