多元高斯分布

问题：

将二元正态分布的概率密度函数改写成矩阵-向量形式

改写：

• 设$(X_1, X_2)$是二元正态变量，其密度函数为：
  
  即：$(X_1, X_2)$ ~ $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$
  其中：$\rho$是相关系数

• 令：

  • $x = (x_1, x_2)^T$
  • $\mu = (\mu_1, \mu_2)^T$
  • $C =$$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \ c_{21} & c_{22} \ \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 \ \rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_2^2 \ \end{pmatrix}$, C是协方差矩阵

• 于是推出：
  $f(x_1, x_2) = \frac1{(2\pi)^\frac22(|C|)^{\frac12}} e^{-\frac12(x-\mu)^TC^(-1)(x-\mu)}$

推广：

将上式推广至N维：$f(x_1, x_2, x_3, ....., x_n) = \frac1{(2\pi)^\frac{n}2(|C|)^{\frac12}} e^{-\frac12(x-\mu)^TC^(-1)(x-\mu)}$
即：

其中：

• $\mu$ 相当于每个正态分布的对称轴，是一个一维向量
• $\Sigma$是协方差矩阵