整理阅读的论文（一）

      这篇文章的基本思想（文中称为Local tangential lifting method，简称LTL）为将三维曲面上的三角形网格光顺（mesh smooth）问题通过投影转化到法平面上的二维网格上讨论（详见 3.1）。其中，法平面的确定采用点邻接三角形的法线加权平均法（权因子选择的是点离三角形重心距离平方的倒数来确定，详见Equ(13)）。
      在 3.2 节中，通过 Taylor 展式来动态地确定离散 Laplace 算子的系数（普通的 Laplace 算子要么采用 uniform weights 的方式，它将加权值统一取成邻接单元个数的倒数，要么采用 Desbrun 的方式，它将连接点的两侧三角形的角度的余切值考虑进去）来得到尽量高的收敛阶。采用该方法有以下问题需要考虑，一，加权值是否和法线所在的切平面的坐标轴选择相关（幸运的是，与之无关）；二，使用 Taylor 展式后根据逼近阶列出的线性方程组不适定（一般地，方程的个数小于未知数的个数），得不到关于加权值的唯一解。这里采用了两个技巧处理该问题，第一个技巧，尽管方程数很多，但是离当前点越远的点对当前点的作用越小，所以文章中只选取了五个最近点来得到相应的方程；第二个技巧，和五点laplace离散格式做类比，得到系数应该满足的一个条件（注[1]）（该技巧也经常见于排序算法[2]的实现中，如对排序权值的和进行约束），再将该条件加到已有的方程组中去，进而得到一个适定方程组。有了以上的准备工作，文章给出了该方法的收敛性证明（uniform weights 的方式不收敛，Desbrun weights 的方式只是对特殊情形下的收敛性给出了证明。证明的过程比较复杂，要点结论对法平面所选的坐标系无关性），且收敛速度为O(r)，其中 r 为网格的尺寸。
      

      注1：和普通的权因子的和约束不同，这里使用的是权因子的平方和约束。 
      注2： 以前使用过 Laplace 优化，只是觉得很神奇，并没有去考虑过其数学背景。直到读这篇文章的时候，看到 Laplace 算子离散的五点格式才恍然大悟。Laplace 算子的收敛解可以当成是一种热传导问题稳态情形的解[3]，把网格的优化和此相联系，就不难理解为什么使用Laplace方法奏效的原因了：它把网格优化的问题放到热传导问题中去考虑（相应的边界条件采用固定边界条件）。
      注3：Green公式的使用及相应的近似离散形式。  

 参考文献：
       [1] Jyh-Yang Wu, Mei-Hsiu Chi and Sheng-Gwo Chen 
             文章下载链接  http://arxiv.org/pdf/1004.3486.pdf 
       [2] 《谁排第一？关于评价和排序的科学》 ，第六章，马尔科夫法，（美）Amy N. Langville, Carl D. Meyer 著， 郭斯羽译，机械工业出版社， 2014年6月
       [3] http://baike.baidu.com/link?url=SxTaLjhQq6f3WmIOF6Dex43YEJ6gXktELhqPRxVbI2lM3kqPXOeAdk_Q4muoDD1ml7R_EtyqxVpKU-UubYhlFK