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树、二叉树基础

时间:2014-07-02 16:44:33      阅读:183      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:   二叉树   数据结构   

前言

前面介绍的栈、队列都是线性结构(linear structure)。而树是非线性结构(non-linear structure)。因此,树中的元素之间一般不存在类似于线性结构的一对一的关系,更多地表现为多对多的关系。直观地看,它是数据元素(在树中称为节点)按分支关系组织起来的结构。显然,树形结构是比线性结构更复杂的一种数据结构类型。

一、树

树的定义:树是含有n个节点的有穷集合,其中有一个节点比较特殊称为根节点。在图示树时,用一条边连接两个有逻辑关系的节点,这个关系被称为父子关系。

二、二叉树

二叉树(Binary Tree)由节点的有限集合构成。这个集合或者为空集,或者为由一个根节点(root)和两棵互不相交,分别称为这个根的左子树(left subtree)和右子树(right subtree)的二叉树组成的集合。

一棵二叉树的示意图:

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三、树和二叉树的主要区别

  1. 树中节点的最大度数没有限制,而二叉树节点的度不超过2。
  2. 树中节点的孩子节点,无左右之分,而二叉树中是有区分的,即孩子是有区别的:左孩子、右孩子,且次序不可颠倒。
  3. 树的结点个数至少为1,而二叉树的结点个数可以为0。

四、常见概念

  1. 节点的度:某节点的度定义为该节点孩子节点的个数。
  2. 叶子节点:度为0的节点。
  3. 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度。
  4. 节点的高度:从该节点起到叶子节点的最长简单路径的边数。(简单路径:无重复边的路径)
  5. 树的高度:根节点的高度。
  6. 节点的层数:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推。
  7. 数的层数:根节点的层数。
  8. 节点的深度:即该节点的层数。
  9. 树的深度:根节点的深度。
  10. 外节点:叶子节点。
  11. 内节点:除叶子节点之外的节点。
  12. 满二叉树:二叉树中节点的度只能是0或2。
  13. 完全二叉树:除最后一层,每一层的节点数都达到最大。最后一层若是没满,则节点集中在左边,空的只能是右边。
注:关于树深度、层数、高度的定义会有不同的说法:有从0开始计数的,也有从1开始计数的。从哪儿开始计数不是关键,关键在于一致性,量的写法要一致。

五、几个量的关系

  1. 对于二叉树,根节点是第一层,则第i层至多有bubuko.com,布布扣个结点。若共有k层,则最多有节点bubuko.com,布布扣个。
  2. 按层次顺序对一棵有n个节点的完全二叉树的所有节点从0到n-1编号。若父节点的编号是i,则左孩子的编号是2*i+1,右孩子的编号是2*i+2。(当然,这是在存在左右孩子的情况下)。同样的,若孩子(无论左右孩子)节点是i,则父节点是(i-1)/2。
  3. 对于一棵满二叉树,外部节点或者说是叶子节点数是n,则内部节点数是n-1。
  4. 对于一棵二叉树,用ni表示度为i的节点个数,则n0=n2+1。证明如下:总节点数n=n0+n1+n2。用e表示边数,则n=e+1,这是因为除根节点外,每一个节点都和一条边对应。同时,e=2n2+n1,推出n0+n1+n2=2n2+n1+1,化简即得n0=n2+1。这个结论用语言表述:二叉树中,叶子节点比度为2的节点多一个。
  5. 有n个节点的完全二叉树,树高度bubuko.com,布布扣,即logn向下取整,高度从0计数。
  6. 在二叉树中,第i层的第一个节点(最左边的节点)的编号是bubuko.com,布布扣,层数从0计数。这个量在选择排序:树形选择中用到了。

六、示意图

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原文地址:http://blog.csdn.net/zhangxiangdavaid/article/details/36189717

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