标准正态分布随机变量的倒数的分布

背景

看到有人在问这个问题，拿来算算。
自从有了CSDN-MarkDown之后，写博客舒服多了，尤其是数学公式部分。

原理

推荐的参考书是:
Schaum’s outline of Probability and Statistics, 3rd Edition, 2009; 科学出版社2002年翻译出版了该书的第二版，所以有中文版。

Continuous Variables

• Theorem: Let $X$ be a continous random variable with probability density $f(x)$. Let us define $U=\phi(X)$ , where $X=\psi(U)=\phi^{-1}(U)$(反函数存在). Then the probability density of $U$ is given by $g(u)$, where:
  $$g(u)\left|{\rm{d}}u\right|=f(x)\left|{\rm{d}}x\right|$$
  or
  $$g(u)=f(x)\left|\frac{dx}{du}\right|=f[\phi^{-1}(u)]\left|\psi‘(u)\right|$$

当连续随机变量是多维的情况下，联合分布密度函数是多元函数，这时候绝对值符号内对应于雅可比行列式。

• Theorem Let $X$ and $Y$ be continous random variables having joint density function $f(x,y)$. Let us define $U=\phi_1(X,Y)$, $V=\phi_2(X,Y)$, where $X=\psi_1(U,V), Y=\psi_2(U,V)$. Then the joint density function of $U$ adn $V$ is given by $g(u,v)$, where:

  $$g(u,v)\left|{\rm d}u\;{\rm d}v\right|=f(x,y)\left|{\rm d}x{\rm d}y\right|$$
  or
  $$g(u,v)=f(x,y)\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=f(\psi_1(u,v),\psi_2(u,v))\left| \left(\;\;\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial \psi_1}{\partial u} & \frac{\partial \psi_1}{\partial v} \ \frac{\partial \psi_2}{\partial u} & \frac{\partial \psi_2}{\partial v} \\end{array}\right|\;\;\right)\right|$$

举例

• Example 设$X$服从标准正态分布，则$Y=\dfrac{1}{X}$服从何种分布（求概率密度函数）？如果存在，计算$Y$的数学期望。

• 解：

• …
  直接套定理即可。
  

  标准正态分布的概率密度函数：$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\tfrac{x^2}{2}}$
  
  $y=\phi(x)=\dfrac{1}{x}, x=\phi^{-1}(y)=\psi(y)=\dfrac{1}{y},$

从而$Y$的概率密度函数：

$$g(y)=f(x)\left|\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}y}\right|=f(\phi^{-1}(y))\left|\dfrac{d\left(\dfrac{1}{y}\right)}{dy}\right|=\frac{e^{-\tfrac{1}{2 y^2}}}{\sqrt{2 \pi } y^2}$$
用Mathematica比较下两个分布密度函数：

Plot[{E^(-(1/(2 x^2)))/(Sqrt[2 \[Pi]] x^2),E^(-(x^2/2))/Sqrt[2 \[Pi]]},{x,-5,5},PlotStyle->{Blue,Red},PlotPoints->150,AxesOrigin->{0,-.02},AxesStyle->Arrowheads[0.02],AxesLabel->{x,y},LabelStyle->Directive[Black,14,FontFamily->"Times"],TicksStyle->Directive[Black,14],AxesStyle->Directive[Black, 12],PlotLegends->{1/x,x}]

图中红色为标准正态概率密度函数，蓝色为其倒数对应随机变量的概率密度函数。看上去即有些意外，又很无可厚非。

$${\rm E}\left(Y\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi }}\lim_{a\rightarrow+\infty}\int_{-a}^{a}{\frac{e^{-\tfrac{1}{2 y^2}}}{ y}}{\rm d}y$$
$y=0$ 这个点有些特殊，似乎会导致被积函数无意义；不过从双侧极限 $y\rightarrow \pm 0$ 的角度，在$y=0$被积函数仍都为$0$。挖掉 $y=0$，因为数学期望的被积函数都是奇函数，在对称的区间上积分时总是得到0、从而新随机变量的数学期望也是0，虽然看上去去掉了一个离散点不太光彩，却暂且是明智的处理方法。——去掉有限多个可去间断点，不影响大局。