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题目描述：如下图所示，机器人位于m×n方格的左上角(起点)，它只能向下或向右行走，问到达右下角(终点)共有多少条路径？
这是一道基本的动态规划的题目，因为机器人只能向下或向右移动，当到达一点是，它只能来自该点的左边和上边。设当前位置为(i,j),Path[i][j]表示从起点到当前点的路径数，所以有： Path[i][j]=Path[i][j-1]+Path[i-1][j]. 根据上述条件，还可以得到第一行和第一列的路径数都为1。算法代码如下：
int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int> > path(m,vector<int>(n,0)); for(int i=0;i<m;i++) path[i][0]=1; for(int j=0;j<n;j++) path[0][j]=1; for(int i=1;i<m;i++) { for(int j=1;j<n;j++) { path[i][j]=path[i-1][j]+path[i][j-1]; } } return path[m-1][n-1]; }
这里可以利用上一轮的结果(向下的箭头)，加上左边点的路径数表示当前点的路径数，因此可以将二维数组降为一维，即：Path[j]=Path[j]+Path[j-1],同时只需将第一行初始化为1，用于第一轮的计算。算法代码如下：
int uniquePaths(int m, int n) { vector<int> path(n,0); for(int j=0;j<n;j++) path[j]=1; for(int i=1;i<m;i++) { for(int j=1;j<n;j++) { path[j]=path[j]+path[j-1]; } } return path[n-1]; }
扩展问题：如果方格中有障碍物时，情况如何？我们用一个二维数组表示带障碍的方格，有障碍用1表示，无障碍用0表示。
该问题首先要判断是否有障碍，如果有障碍要进行清0，如果没障碍则按上述方法计算。
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) { int m=obstacleGrid.size(); int n=obstacleGrid[0].size(); vector<vector<int> > path(m,vector<int>(n,0)); path[0][0]=obstacleGrid[0][0]==1? 0:1; for(int i=1;i<m;i++) path[i][0]=obstacleGrid[i][0]==1? 0:path[i-1][0]; for(int j=1;j<n;j++) path[0][j]=obstacleGrid[0][j]==1? 0:path[0][j-1]; for(int i=1;i<m;i++) { for(int j=1;j<n;j++) { path[i][j]=obstacleGrid[i][j]==1? 0:(path[i-1][j]+path[i][j-1]); } } return path[m-1][n-1]; }
同上一题，我们可以使用一维数组来记录路径数，同时当某一列都有障碍时则明显没有通路应立即返回，这里我们使用一个标记位进行记录。
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) { int m = obstacleGrid.size(); int n = obstacleGrid[0].size(); vector<int> cur(m, 0); for (int i = 0; i < m; i++) { if (obstacleGrid[i][0] != 1) cur[i] = 1; else break; } for (int j = 1; j < n; j++) { bool flag = false; if (obstacleGrid[0][j] == 1) cur[0] = 0; else flag = true; for (int i = 1; i < m; i++) { if (obstacleGrid[i][j] != 1) { cur[i] += cur[i - 1]; if (cur[i]) flag = true; } else cur[i] = 0; } if (!flag) return 0; } return cur[m - 1]; }
我们还可以使用题目给定用来记录障碍的数组来记录路径数：
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) { int m=obstacleGrid.size(); int n=obstacleGrid[0].size(); for(int i= 0;i<m;i++) for(int j=0;j<n;j++) { if(obstacleGrid[i][j] == 1) obstacleGrid[i][j] = 0; else { if(i == 0 && j == 0) obstacleGrid[i][j] = 1; else if(i == 0) obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i][j-1]; else if(j == 0) obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i-1][j]; else obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i][j-1] + obstacleGrid[i-1][j]; } } return obstacleGrid[m-1][n-1]; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhulong890816/p/4603232.html
