求Jordan曲线包围的封闭区域的面积

背景

发现很多教材讲微积分中的格林定理忽略其引申，显得粗糙。看了不同版本教材比对之后，这种感受更深了。$\rm Green‘s\; theorem$ 联系着二重积分和第二类平面曲线积分,是个漂亮的结果.

对原始定理稍作引申，不仅加深理解，在计算几何的某些算法实现中灵活应用起来也很方便。不但格林定理，散度定理也有类似的应用，让人惊讶。

定理和引申

定理 ($\text{Green‘s theorem, also Jordan curve theorem}$): 向量场 $(x,y)\xrightarrow{\Large F} \left\langle X,Y\right\rangle$, $\dfrac{\partial X}{\partial y}$和$\dfrac{\partial Y}{\partial x}$在有界单连通区间 $D$ 上连续；$D$ 的边界为Jordan曲线 $C$：${\bf r}(s)=\left\langle {x(s),y(s)} \right\rangle$。则环量形式 circulation form:

$$\iint\limits_D\left(\dfrac{\partial Y}{\partial x}-\dfrac{\partial X}{\partial y}\right){\rm d}x{\rm d}y=\oint\limits_C F\cdot {\rm d}{\bf r}=\oint\limits_C\left(X{\rm d}x+Y{\rm d}y\right)$$
类似地有flux form:
$$\iint\limits_D\left(\dfrac{\partial X}{\partial x}+\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right){\rm d}x{\rm d}y=\oint\limits_C{F\cdot}{\bf n}{\rm d}s=\oint\limits_C\left(X{\rm d}y-Y{\rm d}x\right)$$
引申 对circulation form, 如果$\left(\dfrac{\partial Y}{\partial x}-\dfrac{\partial X}{\partial y}\right)=1$, 定理的公式左边就是区域 $D$的面积。满足这样条件的$F$ 有很多, 比如$\left\langle0,x\right\rangle$, $\left\langle-y,0\right\rangle$, $\dfrac{1}{2}\left\langle-y,x\right\rangle$等等。从而有：
$$D_\text{Area}=\iint\limits_D{\rm d}x{\rm d}y=\oint\limits_C x{\rm d}y=-\oint\limits_C y{\rm d}x=\dfrac{1}{2}\oint\limits_C \left(x{\rm d}y-y{\rm d}x\right)$$

适当更换$F$，$\left\langle x,0\right\rangle$, $\left\langle 0,y\right\rangle$, $\dfrac{1}{2}\left\langle x,y\right\rangle$，可以类似得到flux form的等价的引申结果。

Jordan曲线作为适用范围只是定理适用的必要非充分条件。边界为封闭曲线，区域内任何点关于边界曲线的 卷绕数 都为 $1$ 似乎更理想, 尤其是如果面积也允许有符号时; 因为这样得到的面积与曲线方向有关, 否则也有反例存在： Lemniscates of Bernoulli,跟曲线参数方程特定的形式有关(因为这影响曲线的走向),此时极坐标积分反而可能更好。

应用案例

椭圆面积

国外教科书中多讲椭圆面积的计算.
比如$C=\left\langle{a\cos{t},b\sin{t}}\right\rangle, t\in[0,2\pi]$所包围的区域的面积。令向量场$F=\dfrac{1}{2}\left\langle-y,x\right\rangle$, 利用定理的引申:

$$S=\dfrac{1}{2}\oint\limits_C{a\cos{t} \;{\rm d}(b\sin{t})-b\sin{t}\;{\rm d}(a\cos{t})}=\dfrac{ab}{2}\int\limits_0^{2\pi}{\left(\cos^2{t}+\sin^2{t}\right){\rm d}t}=\pi a b$$

四瓣花形曲线的面积

如果用一个形状更特殊, 常规方法繁琐的例子则容易给人更深的印象。

比如：

$$\left\{\; \begin{array}{rl} x=& \!\!\!\!\cos (t) \sqrt[4]{\cos ^2(2 t)} \y=& \!\!\!\!\sin (t) \sqrt[4]{\cos ^2(2 t)} \\end{array}\quad t\in[0,2\pi] \right.$$


用格林定理的引申可以得到其面积恰好为 $2$。 这个例子实际上用极坐标下的积分也很容易验证结果。然而格林定理可以直接应用还是让人意外。

这个例子四个花瓣有公共点$(0,0)$应该就不算Jordan曲线了,但封闭的开区域内 卷绕数 都为 $1$ 且曲线方向一致(如果方向相反可能有负卷绕数), 所以仍然适用格林定理；此外，四个象限中,曲线都正好等分单位正方形,这让人也感觉很好。

此外, 这个案例 $\left\langle{\sin{2t},\sin{t}}\right\rangle$ 也不错。

Lemniscates of Bernoulli

前面提到这类曲线能否适用Green’s theorem实际上跟曲线参数方程特定的形式有关(因为这影响曲线的走向), 这里举两个例子, 同样都是 Lemniscates of Bernoulli , 但参数方程决定的曲线走向差异, 一个适用, 一个太难适用。

先说适用的:

参数方程

$$\left\{\; \begin{array}{rl} x=& \cos (t) \sqrt{\cos (2 t)} \y=& \sqrt{\cos (2 t)} \sin (t) \\end{array}\qquad t\in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]\cup \left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right] \right.$$
曲线及其方向是这样的:

容易知道它是前面四瓣花形曲线的一半, 面积是$1$.

而这条曲线:

$$\left\{\; \begin{array}{rl} x=&\frac{343 \cos t-245 \cos (2 t)+10}{149-140 \cos t} \y=& \frac{49 (5 \sin (2 t)-7 \sin t)}{140 \cos t-149} \\end{array}\qquad t\in \left[0,2\pi\right] \right.$$
曲线的走向随参数$t$的增加是这样的:

用格林公式计算面积总是正负抵消,结果为$0$

常拿来说事的不能用此定理的曲线

参数方程为:

$$\begin{cases} x &= -9 \sin (2 t)-5 \sin (3 t) \\[6pt] y & = 9 \cos (2 t)-5 \cos (3 t) \end{cases}\quad t\in[0,2\pi]$$
刚刚计算过它的隐函数曲线形式, 形状如:

如果直接用 格林定理 则得到 $87\pi$, 跟半径$\sqrt{87}$的圆一比较, 发现实际面积并没有圆大，显然是错误的。中心卷绕数为2、近似于正五边形的部分实际被重复计算了。

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