将Best Time to Buy and Sell Stock的如下思路用到此题目
思路1：第i天买入，能赚到的最大利润是多少呢？就是i + 1 ~ n天中最大的股价减去第i天的。
思路2：第i天买出，能赚到的最大利润是多少呢？就是第i天的价格减去 0~ i-1天中最小的。
和前两道题比起来的话，这道题最难了，因为限制了交易次数。
解决问题的途径我想出来的是：既然最多只能完成两笔交易，而且交易之间没有重叠，那么就divide and conquer。
设i从0到n-1，那么针对每一个i，看看在prices的子序列[0,...,i][i,...,n-1]上分别取得的最大利润（第一题）即可。
这样初步一算，时间复杂度是O(n2)。
改进：
改进的方法就是动态规划了，那就是第一步扫描，先计算出子序列[0,...,i]中的最大利润，用一个数组保存下来，那么时间是O(n)。
第二步是逆向扫描，计算子序列[i,...,n-1]上的最大利润，这一步同时就能结合上一步的结果计算最终的最大利润了，这一步也是O(n)。
所以最后算法的复杂度就是O(n)的。
/* 解释： 首先，因为能买2次（第一次的卖可以和第二次的买在同一时间），但第二次的买不能在第一次的卖左边。 所以维护2个表，f1和f2，size都和prices一样大。 意义： f1[i]表示 -- 截止到i下标为止，左边所做交易能够达到最大profit；[0,...,i]的利润 f2[i]表示 -- 截止到i下标为止，右边所做交易能够达到最大profit；[i,...,n-1]的利润 那么，对于f1 + f2，寻求最大即可。 */
对于f1[i],求解过程中用price[i] 减去之前的最小值 和 f1[i-1]做比较，取最大值
动态规划转移方程 f1[i] = max(f1[i-1], price[i]- min)
对于f2[i],求解过程中用后面的最大值减去price[i]和f2[i+1]做比较，取最大值
动态规划转移方程 f2[i] = max(f2[i+1], max-price[i])
思路解释完毕，上code：
minX[i] 表示0 到 i 的最小值 的price
max[i] 表示i到n-1的最大值的price
1 class Solution { 2 public: 3 int maxProfit(vector<int> &prices) { 4 if (prices.size() == 0) 5 return 0; 6 7 vector<int> f1(prices.size()); 8 vector<int> f2(prices.size()); 9 10 vector<int> minX(prices.size()); 11 vector<int> maxX(prices.size()); 12 13 minX[0] = prices[0]; 14 for(int i = 1; i< prices.size();i++ ) 15 { 16 minX[i] = min(minX[i-1], prices[i]); 17 } 18 19 maxX[prices.size()-1] = prices[prices.size()-1]; 20 for(int i = prices.size() -2; i >=0; i-- ) 21 { 22 maxX[i] = max(maxX[i+1], prices[i]); 23 } 24 25 f1[0] = 0; 26 for(int i = 1; i< prices.size();i++ ) 27 { 28 f1[i] = max(f1[i-1],prices[i]-minX[i]); 29 } 30 31 f2[prices.size()-1] = 0; 32 for(int i = prices.size() -2; i >=0; i-- ) 33 { 34 f2[i] = max(f2[i+1],maxX[i]- prices[i]); 35 } 36 37 38 int sum = 0; 39 40 for(int i = 1; i< prices.size();i++ ) 41 sum = max(sum, f1[i] + f2[i]); 42 43 return sum; 44 45 } 46 };
优化：可以对上述code稍微优化一下，maxX 和minX array 并不需要，只要保留一个变量mini和maxX即可，不过由于f1和f2 的存在，空间复杂度还是O（n）
1 class Solution { 2 public: 3 int maxProfit(vector<int> &prices) { 4 if (prices.size() == 0) 5 return 0; 6 7 vector<int> f1(prices.size()); 8 vector<int> f2(prices.size()); 9 10 int mini = prices[0]; 11 f1[0] = 0; 12 for(int i = 1; i< prices.size();i++ ) 13 { 14 f1[i] = max(f1[i-1],prices[i]-mini); 15 mini = min(mini, prices[i]); 16 } 17 18 int maxi = prices[prices.size()-1]; 19 f2[prices.size()-1] = 0; 20 for(int i = prices.size() -2; i >=0; i-- ) 21 { 22 f2[i] = max(f2[i+1],maxi - prices[i]); 23 maxi = max(maxi, prices[i]); 24 } 25 26 int sum = 0; 27 28 for(int i = 1; i< prices.size();i++ ) 29 sum = max(sum, f1[i] + f2[i]); 30 31 return sum; 32 33 } 34 };
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[LeetCode] Best Time to Buy and Sell Stock III
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