【级数】求和

时间：2014-05-03 22:29:12 阅读：296 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

证明

\sum n = 0 \infty ( n ! ) 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = π

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}=\pi$

分析：这道题初看具有难度运用幂级数恐难解决，由分子分母的特性易想到 $\Gamma$函数然后利用$\Gamma$函数与$\beta$函数的关系即可。

Proof：

\sum n = 0 \infty ( n ! ) 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = \sum n = 0 \infty \int 10 t n (1 ? t) n 2 n + 1 d t = 2 \int 10 \sum 0 \infty t n (1 ? t) n 2 n d t = \int 10 1 ( t ? 1 2 ) + 1 4 d t = 2 arctan 2 (t ? 1 2) | 10 = π

$\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}2^{n+1}dt\\&=2\int_{0}^{1}\sum_{0}^{\infty}t^{n}(1-t)^{n}2^{n}dt\\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{(t-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}}dt\\&=2 \arctan2(t-\frac{1}{2})|_{0}^{1}\\&=\pi\end{align*}$

Remark：交换积分与极限的次序用到了 Levi 渐升定理。

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