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在前面的博文中，我们已经介绍了数据结构之二分查找树的相关知识，二分查找的提出主要是为了提高数据的查找效率。同一个元素集合可以对应不同的二分查找树BST，二分查找树的形态依赖于元素的插入顺序。同时我们也已经知道，如果将一个有序的数据集依次插入到二查找树中，此时二分查找树将退化为线性表，此时查找的时间复杂度为o(n)。为了防止这一问题的出现，便有了平衡二叉树的存在价值。平衡二叉树从根本上将是为了防止出现斜二叉树的出现，从而进一步提高元素的查找效率，保证元素查找的时间复杂度为o(logn)，显然，平衡二叉树是二分查找树的一种负责任的形态，因为他比较公平，左右皆平等。
说明：平衡二叉树是一个大的范围，并不仅仅代表AVL树，因为树的平衡与否，并没有一个绝对的测量标准。“平衡”的大致意义是：没有任何一个结点过深（深度过大），不同的平衡条件则对应不同的树的类型，也表现出不同的效率。平衡二叉树的种类有很多，如：AVL-tree、RB-tree、AA-tree。
基本定义
高度与深度的区别
结点深度(depth)是指从root到结点n路径上边的条数，结点高度(height)是指从结点n向下到某个叶子结点最长路径中边的条数。树的深度指的是所有叶子结点深度中的最大值，树的高度指的是根结点的高度。从上面的定义可以看出，深度是从根结点开始自顶向下逐层累加，而高度则是从叶子结点开始自底向上累加。
AVL树（是平衡二叉树的一种）---->由Adelson-Velskii 和Landias在1962年提出。
AVL或者是一颗空的BST，或者是具有下列性质的BST：
（1）根结点的左子树和右子树的深度相差不超过1；
（2）根结点的左子树和右子树也是AVL树。
FAQ:假设树的跟结点为第0层，对于层数为n的AVL树，至少有多少个结点？
设f(n)表示层数为n的AVL至少含有的结点个数，则f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=1，f(1)=2，可以看出：
f(0)=1
f(1)=2
f(2)=1+2+1=4
f(3)=2+4+1=7
f(4)=4+7+1=12
f(5)=7+12+1=20
...
平衡因子
AVL树中结点的平衡因子表示该结点的左子树的深度减去右子树的深度，即depth(left)-depth(right)。
AVL的基本实现过程
在构造AVL树的过程中，每当插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树（即距离插入点最近的失去平衡的子树），在保存AVL树性质的前提下，调整各个结点直接的连接关系，并进行相应的旋转，使之称为新的AVL子树。
总结：失去平衡的结点只可能发生在从新插入点到root的路径上。
单旋转、双旋转
当在AVL中插入新的结点时，需要根据实际情况对AVL中的某些结点做单旋转或双旋转操作，单旋转表示做一次顺时针或逆时针的旋转操作，而双旋转则做两次单旋转操作（先顺时针后逆时针，或者先逆时针后顺时针），单旋转发生在LL型插入和RR型插入，而双旋转则发生在LR型插入和RL型插入。下面介绍下四种插入类型：
以下的失去平衡点都指的是离插入点最近的那个失去平衡的结点。
LL型：插入点位于失去平衡点的左孩子的左子树上；
RR型：插入点位于失去平衡点的右孩子的右子树上；
LR型：插入点位于失去平衡点的左孩子的右子树上；
RR型：插入点位于失去平衡点的右孩子的左子树上。
LL型插入的调整方法：将失去平衡点的左孩子提升，失去平衡点下降为提升点的右孩子，提升点的原右孩子作为失去平衡点的左孩子，具体如下图所示：
RR型插入的调整方法：将失去平衡点的右孩子提升，失去平衡点下降为提升点的左孩子，提升点的原左孩子作为失去平衡点的右孩子，具体如下图所示：
LR型插入的调整方法：先作RR型调整，再做LL型调整，分如下两个步骤进行：
（1）先将失去平衡点的左孩子的右孩子提升，失去平衡点的左孩子下降为提升点的左孩子，将提升点的原左孩子作为下降点的右孩子（此时发生了碰撞）。
（2）将失去平衡点作为新的下降点，该下降点作为提升点的右孩子，将提升点原右孩子作为该下降点的左孩子（此时发生了碰撞）。具体如下图所示：
RL型插入的调整方法：
（1）先将失去平衡点的右孩子的左孩子提升，失去平衡点的右孩子为提升点的右孩子，将提升点的原右孩子作为下降点的左孩子（此时发生了碰撞）。
（2）将失去平衡点作为新的下降点，该下降点作为提升点的左孩子，将提升点原左孩子作为该下降点的右孩子（此时发生了碰撞）。具体如下图所示：
举例
下面依次将值2,5,7,1,4,3,6依次插入到AVL中，具体过程如下：
参考资料：
[1]《数据结构(C++版）王红梅等》
[2]《数据结构与算法分析---C语言描述 原书第二版》
[3]《STL源码剖析 侯捷》
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原文地址：http://blog.csdn.net/jxh_123/article/details/36632703
