位操作的技巧

一，基本概念认知
1，为啥要用补码
计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。
在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。（来自百度百科）
2，补码的求法：
正数的补码和原码相同；
负数是对应正数原码取反后加1；（或者现将对应正数减1，然后取反）
补码绝对值求法：对补码取反加1；
负数的补码如果一直向右移动一位（相当于/2)，则会变成0xFFFFFFFF，形成死循环。因为每次移位负数的最高为都会补上1.。
3， 怎么表示相反数：
n=-n=~(n-1)=~n+1;正好对应了负数补码的求法；

二，位操作原理和技巧【x既可以表示一个正数，也适用于表示某一位的情况（0或者1）】微笑
1，异或：（三种状态）
x^0=x;（和0异或没有变化）
x^1=~x;（和1异或相当于取反）
x^x=0;（和自己异或相当于清0）
2，&（两种状态:清0或者不变）
x&0=0;（和0取&相当于清0）
x&1=x;（和1取&没有变化）
x&x=x;（和自己取&没有变化）
3，|（两种状态:置1或者不变）
x|0=x;（和0取|没有变化）
x|1=1;（和1取|相当于置1）
x|x=x;（和自己取|没有变化）
4，依据上面几点位操作的应用：
(1) 获取某一位的信息

bool getBit(int num,int i){
  return (num&(1<<i));
}

(2)置位（某一位置1，其他位不影响）

int setBit(int num,int i){
    return num|(1<<i);
 }

(3)清0（虽然异或可以做到，但是取&是最好的办法）
a)只将某一位清0，其他位不动；
利用&特性，和1取&不变，和0取&清0

int clearBit(int num,int i){//清0方法1，使用&
    int mask=~(1<<i);
    return num&mask;
 }

有人想到可以利用异或的特性，和0异或不变，和自己异或清0；但是这样的话，需要判断这一位是0还是1，比较麻烦。

b)将num最高位到i位（包含i位）清零：
和a)类似。把mask变一下。

int mask=(1<<i)-1;

c)将num的i位(含)到0位清零：
只写出mask

int mask=~((i<<(i+1))-1);

三，位操作实现加减乘除
3.0 工具栏
<1>获取整数n的二进制中最后一个1：n&(-n) 或者 n&~(n-1)，如：n=010100，则-n=101100，n&(-n)=000100

<2>去掉整数n的二进制中最后一个1：n&(n-1)，如：n=010100，n-1=010011，n&(n-1)=010000

例题：求二进制数中1的位数（编程之美）

int count(int num){//不断去除最后一个1，这个写法效率很高
  int res=0;
  while(num){//只循环了1的个数的次数
     num&=(num-1);
     res++;
  }
  return res;
 }

3.1 加运算
对于x和y两个数，如果他们相加过程中完全不需要进位的话，相加是不是就是很容易的事情了。就相当于x^y就OK了吧。
但是如果有进位的情况，就是有那么一个或多个bit，x和y在那一位上都是1。x&y就可以判断哪几位都是1。进位就是左移一位，就是(x&y)<<1；
所以x和y的相加，可以分为两部分：可以看做是不需要进位的那些位之和x^y，加上需要进位的部分之和(x&y)<<1。不断循环即可，直到没有进位。

int add(int x, int y){
    int add,carry;
    do{
        add=x^y;
        carry=(x&y)<<1;
        x=add;
        y=carry;
    }while(carry);
    return add;
}

3.2 减运算
x-y=x+(-y)=x+(~y+1);
int 的范围-2147483648(绝对值是2^31)－－2147483647（2^31-1)

int subtract(int x,int y){
     return add(x,add(~y,1));
}

3.3 乘法运算
乘法的规律是什么呢。看这样的例子：2*7=14;
转换为二进制会看的明白：0010*0111=0010*(0001+0010+0100)=0010<<0+0010<<1+0010<<2=0010+0100+1000=1110;
这时候求出7的最后一位1的位置，然后再去掉最后一位1，如此循环到7变为0为止。
考虑溢出，如果大于INT_MAX 输出INT_MAX；如果小于INT_MIN，输出INT_MIN。

int multiply(int x,int y){
     map<unsigned int,int> bit_map;
     bool neg=(x<0)^(y<0);
     long long res=0;
     unsigned int x1=x>0?x:-x;
     unsigned int y1=y>0?y:-y;
     for(int i=0;i<32;i++){
        bit_map[1<<i]=i;
     }
     while(y){
        int lastBit=y1&(-y1);
        res+=x1<<bit_map[lastBit];
        if(res>INT_MAX) return neg==true?INT_MIN:INT_MAX;
        y1&=(y1-1);
     }
     if(neg) res=-res;
     return res;
}

3.4 除法运算
除法就是不断的减去一部分值，对应乘法的加。先减去最大的那个因子。也是根据因子的二进制，先找出因子的最高位，被除数减去这部分，然后找出次高位…直到被除数小于除数。

下面的代码，充分考虑了溢出的情况，针对有INT_MIN输入。如果结果大于INT_MAX，则输出INT_MAX;

int divide(int x,int y){
   assert(y!=0);//y不可以为0；
   bool neg=(x<0)^(y<0);
   unsigned int x1=x>0?x:-x;//防止INT_MIN的溢出
   unsigned int y1=y>0?y:-y;//防止INT_MIN的溢出
   long long pos=y1;//非常关键，防止溢出
   unsigned int res=0;
   int bit=0;
   for(;pos<=x1;bit++)
   {
       pos=pos<<1;
   }
   while(x1>=y1){
     if(x1>=pos){
        res|=1<<bit;
        x1-=pos;
     }else{
         pos>>=1;
         bit--;
     }
   }

   if(res>INT_MAX&&!neg) return INT_MAX;
   if(neg) res=-res;
   return (int)res;
}