一道PK赛题

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我承认自己的英语渣！
然后现在标程解：

解题思路：

第一环可以随时取下或者套上

一次只能取下或者套上一环

设要取下的是第k环，那么前k-2环必然在杆下，第k-1环必然在杆上，只有这样第k环才能取下，并且取下之后，第k-1环还在杆上，前k-2环在杆下(套上的规则也是类似)

玩1连环，直接取下，ok；

玩2连环，先下第二环（根据3）,然后就相当于解1连环了；

玩3连环，先下第一环，之后第三环可以摘下(也是根据3)，这个时候只有第二环孤零零地在杆上，之后我们把第一环套上，问题转化为2连环了；

。。。。。。。。。。。

玩k连环，那么第k环是要解下的，而要解下第k环，我们就要先解下前k-2环，这样在杆上的第k环可以依靠在杆上的第k-1环解下（规则3）。第k环解下之后，杆上只有第k-1环，前k-2环在杆下。如果前k-2环不上去，第k-1环就无法解下。所以我们要上前k-2环（稍微一想就知道，上i个环和下i个环的最少步骤必然是相等的，因为是逆过程）好了，上了前k-2环之后，此时杆上就排好了k-1环接下来怎么办？对，递归！

设f[n]是下n连环的最少步骤。那么，要先下前n-2，然后再下第n，然后安装前n-2，然后下前n-1

所以，f[n]=f[n-2]+1+f[n-2]+f[n-1]

=f[n-1]+2*f[n-2]+1

F[0]=0,f[1]=1

可以矩阵乘法了，如果不嫌麻烦

生成函数。

设G(x)=f[0]+f[1]*x+f[2]*x^2+f[3]*x^3+f[4]*x^4+……+f[n]*x^n+….

那么x*g(x)= f[0]*x+f[1]*x^2+f[2]*x^3+f[3]*x^4+….+f[n-1]*x^n+…

并且2*x^2*g(x)= 2*f[0]*x^2+2*f[1]*x^3+2*f[2]*x^4+.+2*f[n-1]*x^n

第一式减下两式，并且根据递推关系，得

(1-x-2*x^2)G(x)=f[0]+f[1]*x-f[0]*x+x^2+x^3+x^4+….+x^n+…

=x+x^2+x^3+…+x^n+…=x/(1-x) (生成函数x没有实际意义

，所以认为无穷级数收敛)

所以G(x)=(x/(1-x))/(1-x-2*x*x)=x/((1-x)*(1+x)*(1-2*x))

将其展开为c/(ax+b)的形式，得到

G(x)= - ( 1/(1-x)*3/2+1/(1+x)*1/2 )/3+ 1/(1-2*x)*2/3

根据1/(1-x)=1+x+x^2+….+x^n+…

得到f[n]= (2^(n+2)-3-(-1)^n)/6

推导有点耗时呢，用其它方法可以么？

注意到这是一个带有常数的线性递推关系。先求对应线性齐次方程的通解，然后求一个特解，然后组合起来就好了（还记得常微分方程吧，与那个类似）

对应的特征方程是x*x=x+2，两个特征根是2与-1

设f[n]=c1*2^n+c2*(-1)^n+c，代入递推f[n]=f[n-1]+2*f[n-2]+1

那么，因为2和-1是那个特征方程的特征跟，所以c1,c2以及含幂的项都抵消了，所以

c=c+2*c+1

所以c=-1/2，再讲f[0],f[1]代入，解得f[n]= -(-1)^n/6+2^(n+1)/3-1/2，与生成函数的一样。

求出公式之后，把分母变成逆元，把幂模掉phi（p），模平方乘法都不需要，因为p只有10000量级，乘以不到100个数。

--反正我没看懂，太渣了！

然后ORZ月月鸟的矩阵快速米！

构造一个这样的矩阵{1 2 1

                   1 0 0

                   0 0 1}

  然后矩阵的N次幂就OK了，构造矩阵真是一个大学问;

  PS:答案就是矩阵中MP[0][0]+MP[0][2]的值；具体看代码（虽然这是不好的风格，我说不上来）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
using namespace std;
#define inf 19999999
#define N 30000
typedef long long ll;
struct matrix
{
    int a[4][4];
}re,rx;
int n;

matrix mul(matrix x,matrix y)//矩阵快速米
{
    matrix tep;
    memset(tep.a,0,sizeof(tep.a));
    for (int i=0;i<3;i++)
        for (int j=0;j<3;j++){
         for (int k=0;k<3;k++)
          tep.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
          tep.a[i][j]%=10007;
        }
    return tep;
}

void calc(int n)
{
    while (n)
    {
        if (n&1) rx=mul(rx,re);
        n>>=1;
        re=mul(re,re);
    }
    printf("%d\n",(rx.a[0][0]+rx.a[0][2])%10007);//求值的操作
}

int main()
{
     while (scanf("%d",&n)!=EOF){
     memset(re.a,0,sizeof(re.a));
     memset(rx.a,0,sizeof(rx.a));
     re.a[0][0]=1; re.a[0][1]=2; re.a[0][2]=1;//初始矩阵
     re.a[1][0]=1; re.a[2][2]=1;
     rx.a[0][0]=1; rx.a[1][1]=1; rx.a[2][2]=1;//我构造了一个单位矩阵，方便后面的处理
     n--;//-1是因为我们从3开始的
     calc(n);
     }

    return 0;
}

ORZ能找周期的ZZ,真是什么姿势A题的都有