红黑树(3) - 删除操作

时间：2015-07-12 00:22:30 阅读：140 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

在本系列的前面两篇文章中，已经介绍了红黑树以及其插入操作。具体可参考下面两个链接：
红黑树(1) - 介绍
红黑树(2) - 插入操作

1.删除操作介绍

类似于插入操作，红黑树进行删除节点时，也使用重新着色以及旋转这两种方式，来维护它的属性。在插入操作中，我们主要是依靠检测叔节点的颜色来决定哪种场景。在删除操作中，我们使用检测兄弟的颜色，来决定是哪种场景。
在插入操作中，最常见的违反红黑树属性的一种情况是存在两个连续的红色节点。而在删除操作中，常见的情况是，当删除节点是黑色时，会影响从根节点到叶子的黑色节点高度。违反红黑树的性质5。
删除的过程相对比较复杂。为了便于理解删除过程，我们将使用到"double black"的概念。当一个黑色节点被删除，并且被它的黑色孩子取代时，这个孩子就标记为double black。因此，主要的工作就变为了将这个double black转换为single black。

2.删除操作步骤

下面是详细的删除步骤。在以下的内容里，d表示被删节点，c表示将用于替换d的孩子节点。

执行标准的二叉搜索树的删除操作。在删除过程中，如果d是叶子或者只有一个孩子，则操作比较简单，基本上直接删除就可以了。而对于存在两个孩子的节点，可以先查找到d的中序遍历时的后继节点，用它的值替换掉d的值，然后再删除这个后继节点(中序遍历时的后续节点总是一个叶子或只有一个孩子)。如下图所示。这样的话，我们只需要处理被删节点是叶子或只有一个孩子的这种情况。

              50                                            60                                        60
           /     \           delete(50)               /   \          delete(60‘)           /          40     70    ----------------->      40    70 ------------------>   40   70
                 /  \      后继节点赋值                  /  \      删除后继节点                             60   80   给被删节点                  60‘   80                                      80

上图中，被删节点d是50，则它的中序遍历后继节点是60。用后继节点的值替换d的值，然后删除60这个后继节点。

当然，在本步骤中，也可以选取前驱节点(即被删节点左子树最大值)进行替换。原理与后继节点相似。这里不再描述。

3. 简单场景-d或者c是红色

使用孩子节点c替换d，然后将其置为黑色。这样黑色高度维持不变。这是因为d和c不可能同时是红色，其中必定有一个为黑色。

本步骤会覆盖到下面的这4种场景。

              30                            30
           /     \       delete(10)        /             20      40    ------------->    20    40 
         /                                  
        10

              30                            30
           /     \       delete(20)        /             10      40    ------------->    10    40 
            \                               
            20

              30                            30
           /     \       delete(20)        /             20      40    ------------->    10    40 
         /                                  
        10

              30                            30
           /     \       delete(20)        /             20      40    ------------->    10    40 
            \                                  
            10

对于d拥有两个孩子(两颗子树)的场景，如下面的两个图所示，可以采用第2节提供的方法，转换为处理叶子节点或单个孩子的场景。

              40                                 40                                40
           /     \        delete(20)           /   \        delete(30‘)           /            20      50 ---------------------->  30    50 --------------------->   30   50
         /  \          执行步骤2.1,将d的       /  \      此时转换为了删除叶子30‘.   /
        10  30         后继节点的值赋给d.      10  30‘                           10

              40                                 40                                40
           /     \        delete(20)           /   \        delete(30‘)           /            20      50 ---------------------->  30    50 --------------------->   30   50
         /  \          执行步骤2.1,将d的       /  \      此时转换为了删除叶子30‘.   /
        10  30         后继节点的值赋给d.      10  30‘                           10

4. 复杂场景-d和c都是黑色(包括d是叶子)

4.1. 孩子节点c是double black

此时，主要工作就是将这个double black转换为single black。注意：当d是叶子时，则默认c为null节点并且为黑色。所以，如果删除的是黑色叶子，则也会引发double black操作。

上图中，在转换为了double black后，实际上已经变成了4.2.1.c的场景。可以使用Right Right Case旋转方式。

最终，删除节点20后，这棵树调整为：

              30                            40
           /     \       delete(20)        /             20      40    ------------->    30    50 
                    \                             
                     50