注意:
本文中所有的代码你可以在这里:

https://github.com/qeesung/algorithm/tree/master/chapter11/11-4/openAddressing（这里会及时更新）

或者这里:

http://download.csdn.net/detail/ii1245712564/8891141

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散列表之开放定址法

在前面的文章中我们介绍过《散列表之链接法》，在链接法中，如果不同键值却将有相同的映射值，即有不同键值的元素却映射到散列表中的同一位置，那么就采用链表的方法，将映射到同一位置的元素插入到同一个链表之中，当需要删除， 查询元素时，只需要遍历该链表即可，链接法在最坏情况下删除和查询元素的时间代价为$O(n)$

今天我们来讲散列表中另外一种解决冲突的方法，那就是开放定址法(open addressing)。

假如你在外面旅游时，吃坏东西，急需上厕所，当你好不容易找到一件洗手间的时候，发现排了好多人，这时你会怎么做？

• 如果是链接法:排队不就行了，我就在外面等，迟早会排到我的
• 如果是开放定址法:直接放弃现有厕所，去寻找新的厕所

没错，放弃已被占用的位置，寻找新的插入位置就是开放定址法的思想，开放定址法中的开放二字指的是没有被占用的位置，定址指的是确定位置。开放定址法中，所有的元素都放在散列表中(链接法放在链表中)。也就是说散列表中的每一个位置，要么有元素，要么没有元素。当需要删除，查询元素时，我们从某一个位置开始，按照某种特定的确定下一个位置的方法来检查所有表项，直到找到目标元素，或者没有找到。

散列表的基本操作

散列表有三种最基本的操作:

• 插入元素:INSERT(ele)
• 查询元素:SEARCH(k)
• 删除元素:DELETE(ele)

下面我们给出开放定址法散列表的定义

template < class T >
class OpenAddressingTable
{
    public:
        typedef size_t (*Hash_Func_Type)( const T & , size_t , size_t);// [> 定义散列函数的指针 <]
        /* 描述表的一个位置的状态 */
        enum ELE_STATUS{
            EMPTY=0,// 空的
            DELETED=1,// 被删除的
            FULL=2 //有元素的
        };
        // ====================  LIFECYCLE     =======================================
        OpenAddressingTable (size_t array_size ,Hash_Func_Type _hash_func=NULL) ; /** constructor      */
        ~OpenAddressingTable ()                                                 ; /** destructor       */
        /** ====================  MUTATORS      ======================================= */
        bool hash_insert(const T & t)                    ; /*  向散列表中插入新的元素 */
        bool hash_search(const T & t , T & target) const ; /*  在散列表中查找键值 */
        bool hash_delete(const T & t)                    ; /* 在散列表中删除键值对应的元素 */
        void hash_clear();

    private:
        /** ====================  DATA MEMBERS  ======================================= */
        T * array_ptr                 ; /*  散列表的数组指针 */
        const size_t array_size       ; /* 散列表数组的大小 */
        ELE_STATUS * status_array_ptr ; /* 用于存放各个位置的状态信息*/
        Hash_Func_Type HASH           ; /* 采用的散列函数,这个函数用户也可以自己指定 */

}; /** -----  end of template class OpenAddressingTable  ----- */

#include "open_addressing.cc"
#endif   /* ----- #ifndef OPEN_ADDRESSING_INC  ----- */

插入操作_INSERT

只要我们找到的位置没有元素在里面，那么表示这个位置可以插入新的元素

/**
 *  插入一个元素
 *  @param t 要插入的元素
 */
template < class T >
bool OpenAddressingTable<T>::hash_insert (const T & t)
{
    size_t i = 0;
    while(i!= array_size)
    {
        size_t j = HASH(t , i , array_size); // 取出位置
        if(status_array_ptr[j] != FULL) // 判别元素是否是开放为空的
        {
            array_ptr[j] = t;   //插入元素
            status_array_ptr[j] = FULL;//并将该位置状态设为已经被插入
            return true;
        }
        ++i;
    }
    std::cerr<<"hash table overflow"<<std::endl;
    return false;
}       /** -----  end of method OpenAddressingTable<T>::hash_insert  ----- */

查找操作_SEARCH

查找操作和插入操作比较类似，查找操作是要找到有非空位置，并判断是否是目标元素，当遇到为EMPTY的时候,说明之后元素也不必再检查，因为后面已经没有元素了

/*
 * 查找元素
 * @param t      要查找的键值
 * @param target 返回找到的目标
 */
template < class T >
bool OpenAddressingTable<T>::hash_search (const T & t , T & target) const
{
    size_t i = 0;
    while(i != array_size)
    {
        size_t j = HASH(t , i , array_size) ;
        if(status_array_ptr[j] == EMPTY) // 之后就再也没有元素了
            return false;
        else if (status_array_ptr[j] == FULL)
        {
            if(array_ptr[j].key == t.key )  
            {
                target = array_ptr[j];
                return true;
            }
        }
        ++i;
    }
    target = T();
    return false;
}           /** -----  end of method OpenAddressingTable<T>::hash_search  ----- */

删除操作_DELETE

删除操作和上面两个操作也比较相似，但是有一点需要注意，那就是已删除元素的散列表位置不能标记为EMPTY，而是要标记为DELETED,因为在查找操作中是以EMPTY作为探查的终止，如果标记为EMPTY,那么在被删元素之后的那些元素就会丢失

template < class T >
bool OpenAddressingTable<T>::hash_delete (const T & t)
{
    size_t i = 0;   
    while(i !=array_size)
    {
        size_t j = HASH(t , i , array_size);
        if(status_array_ptr[j] == EMPTY)
            return false;
        else if (status_array_ptr[j] == FULL)
        {
            if(array_ptr[j].key == t.key )  
            {
                status_array_ptr[j] = DELETED;// 不应该是EMPTY
                return true;
            }
        }
        ++i;
    }
    return false;
}       /** -----  end of method OpenAddresingTable<T>::hash_delete  ----- */

散列表的探查方法(probe methods)

上文提到，我们从某一个位置开始，按照某种特定的确定下一个位置的方法来检查所有表项,而这种特定的确定下一个位置的方法就是我们这里的探查方法。

在进入正题前，我们首先来看两个问题：

问题一:为什么需要探查？

回答一:前面我们讲过，开放定址法在一个位置被占用时，就会去寻找下一个新的位置，那这个找的方法也不是乱找。那么就需要按照一定的查找规律去一个一个的探查。

---

问题二:什么样的探查才算是一个好的探查？

回答二:一个好的探查一定是可以等可能的探查散列表中的所有表项的，每个关键字的探查序列等可能的为$<0,1,2,...,m-1>$的$m!$种排列中的一种。但是这种探查只是理想化的，我们只能做到尽可能的趋近。

散列表探查的定义

为了使用开放定址法插入一个元素，需要连续的检查散列表，直到找到一个新的空槽来放置带插入的元素为止。检查的顺序不一定是0,1,2,…,m-1的这种顺序，而是要依赖待插入的关键字key,为了确定探查哪些槽，我们将散列函数加以扩充，使之包含探查号作为第二个输入参数，于是散列函数就定义为:

$$h:U \times \lbrace 0,1,2,...,m-1 \rbrace \rightarrow \lbrace 0,1,2,...,m-1 \rbrace$$
对于每一个关键字$k$，使用开放定址法得到的探查序列$<h(k,0),h(k,1),...,h(k,m-1)>$都是$\lbrace 0,1,2,...,m-1 \rbrace$的一个排列。

在下面我们将介绍三种探查的方法，这三种探查的方法都能保证每一个关键字的探查序列都是$\lbrace 0,1,2,3,...,m-1 \rbrace$的一个排序，但是并不能做到等可能的为$\lbrace 0,1,2,3,...,m-1 \rbrace m!$排列中的一个。

线性探查

给定一个辅助散列函数$\_h:U \rightarrow \lbrace 0,1,2,...,m-1 \rbrace$,那么线性探查的散列函数为:

$$h(k,i)=(\_h(k)+i)\ modm ,\ \ i=0,1,2,...,m-1$$

首先我们探查$HashTable[\_h(k)]\ modm$位置，如果发现已经被占用，那么就探查$HashTable[\_h(k)+1]\ modm$，如果也被占用了，那么就探查$HashTable[\_h(k)+2]\ modm$，以此类推，直到找到合适的位置，或者探查了$m$次以后到位置$HashTable[\_h(k)-1]\ modm$，那么探查停止。

/**
 * 辅助散列函数
 * @param t          要插入的元素
 * @param array_size 散列表的大小
 */
template < class T >
size_t _hash (const T & t , size_t array_size) 
{
    return t.key%array_size;
}       /** -----  end of method OpenAddressingTable<T>::_hash  ----- */

/**
 * 线性探查  
 * @param t           要插入的元素
 * @param offset      探查号
 * @param array_size  散列表大小
 */
template < class T >
size_t linear_probing (const T & t, size_t offset , size_t array_size) 
{
    return (_hash(t , array_size)+offset)%array_size;
}       /** -----  end of method OpenAddresingTable<T>::linear_probing  ----- */

举个栗子:
假设现在有大小为$5$的散列表,现在要插入三个元素$\lbrace a_1(key=0),a_2(key=1),a_3(key=5) \rbrace$到散列表中

插入$a1$,$h(0,0)=0$,位置$0$为空，可以直接插入

插入$a2$,$h(1,0)=1$,位置$1$为空，可以直接插入

插入$a3$,首先探查好$h(5,0)=0$,发现位置$0$已有元素，那么接下来探查$h(5,1)=1$，发现位置$1$也有元素了,于是继续探查$h(5,2)=2$,$2$位置为空，可以插入

可能你也发现上面的问题了，如果我们要查找$a3$，那么就要经过一个$a1$,$a2$的探查，其中$a1$和$a3$的辅助散列值相同，要经过$a1$的探查还算是情有可原，但是$a2$和$a3$基本算是无关元素，我要找$a3$，还要探查一次$a2$,这样未免也太慢了，而且随着插入的元素越来越多，将会探查的不相关的元素就越来越多，连续被占用的糟会越来越长，那么效率就越来越低，这种问题称为一次群集，线性探查是一次群集最为严重探查方法，我们可以使用下面两种更为巧妙的探查方法来避免一次群集

二次探查

二次探查相对于线性探查来说，在散列函数中添加了一个二次项:

$$h(k,i)=(\_h(k)+c_1i+c_2i^2)\ modm$$
其中$_h$是一个辅助散列函数，$c_1$,$c_2$为正常的辅助常数，初始的探查位置是$\_h(k) \ modm$虽然二次探查不存在像线性探查哪样的严重群集，但是还是存在一定的群集现象，该群集现象称为二次群集

/**
 *  二次探查
 */
template < class T >
size_t quadratic_probing (const T & t , size_t offset , size_t array_size) 
{
    return (_hash(t , array_size)+offset*offset)%array_size;
}       /** -----  end of method OpenAddressingTable<T>::quadratic_probing  ----- */

双重散列

双重散列是用于开放定址法的最好的探查方法之一，因为双重散列对于任何一个键值来说，得到的探查序列都是足够随机的，双重散列采用下面的散列函数:

$$h(k,i)=(h_1(k)+i*h_2(k))\ modm$$
其中$h_1$和$h_2$分别是两个辅助散列函数，起始的散列表项为$h_1(k)\ modm$

有一个散列函数就已经够头疼的了，现在还多了一个新的辅助散列函数，为了能查找整个散列表，值$h_2(k)$必须要与散列表的大小$m$互素。有一种简便的方法可以保证这个条件成立，就是取$m$为2的幂，并设计一个总产生奇数的散列函数$h_2$。另一种方法是取$m$为素数，并设计一个总产生比$m$小d额正整数的函数$h_2$。

比如在我们去$m$为一素数的时候，我们可以讲散列函数设计如下

$$h_1(k)=k\ modm ,h_2(k)=1+k\ mod(m-1)$$

/**
 *  双重散列的第二个辅助函数
 */
template < class T >
size_t _hash1 (const T & t  , size_t array_size) 
{
    return (1+t.key%(array_size-1));
}       /** -----  end of method OpenAddressingTable<T>::_hash1  ----- */


/**
 *  双重散列
 */
template < class T >
size_t double_hashing (const T & t , size_t offset , size_t array_size) 
{
    return (_hash(t , array_size)+offset*_hash1(t , array_size))%array_size ;
}       /** -----  end of method OpenAddressingTable<T>::double_hash  ----- */

总结

开放定址法的所有元素都存在于散列表之内，每一个表项要么存在元素，要么就为空，当发生映射值冲突的时候我们可以探查新的位置。最好的探查方法是双重散列，因为双重散列产生的探查序列足够随机，不像线性探查和二次探查哪样存在较为严重的群集现象。

开放定址法相对于链接法来说，可以将存储链表指针的内存空出来存储更多的数据，直接跳过了指针的操作，而是用数组的直接访问来访问元素，但是如果探查散列函数设计差劲的话，将会严重拖慢散列表的速度！