解决约瑟夫环的三种方法

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假设有一圈石子，从1到n比较。然后依次每隔一个石子选出一个，直到剩余一个；问最后选出的石子的编号是多少；

（至少）有三种方法可以解决这个问题；如下面的代码所示：

object App extends App {

  def native(n: Int): Int = {
    def dispatch(pre: List[Int], list: List[Int]): List[Int] =
      list match {
        case Nil => pre
        case h :: Nil => pre.tail :+ h
        case h :: x :: tail => dispatch(pre :+ h, tail)
      }

    def play(list: List[Int]): Int =
      if(list.size == 1) list.head
      else {
        play(dispatch(Nil, list))
      }

    play((1 to n).toList)
  }

  def smart(n: Int): Int = {
    val j = Array.fill(n + 1)(1)

    def calc(k: Int): Unit = {
      if(k <= n) {
        if(k % 2 == 0) {
          j(k) = 2 * j(k / 2) - 1
        } else {
          j(k) = 2 * j(k / 2) + 1
        }
        calc(k + 1)
      }
    }
    calc(2)

    j(n)
  }


  def best(n: Int): Int = {
    def binaryRep(n: Int): List[Int] = {
      if(n == 0) {
        Nil
      } else if(n == 1) {
        List(1)
      } else {
        (n % 2) :: binaryRep(n >> 1)
      }
    }

    val br = binaryRep(n).reverse

    var cycleLeftShift = br.tail :+ br.head

    def toDecimal(list: List[Int], base: Int, result: Int): Int = {
      list match {
        case Nil => result
        case h :: tail => toDecimal(tail, base * 2, result + h * base)
      }
    }
    toDecimal(cycleLeftShift.reverse, 1, 0)
  }

  for {
    i <- 1 until 15
  } {
    println(s"native: J($i) = " + native(i))
  }


  for {
    i <- 1 until 15
  } {
    println(s"smart:  J($i) = " + smart(i))
  }

  for {
    i <- 1 until 15
  } {
    println(s"best:  J($i) = " + best(i))
  }
}

这三种方法依次是是模拟，数学计算，还有利用该问题本身的特性；

1. 模拟的方法比较直观，迭代多次，直到剩余一个元素为止；每次迭代都依次剔除一个元素；需要注意的时，但有奇数个石子的时候，在头部的石子也需要被剔除掉。因为是个环么~~~

2. 数学的方法是基于以下的观察：

   a. 当n = 1时，J(1) = 1， 

   b. 假设n = 2k时， 假设最后编号为J(n)的石子留了下来；经过第一轮剔除，编号为偶数的石子都被剔除了，所以所有的石子（除去编号1）的位置都往前移动，比如编号3到位置2，编号5到位置3，等等。原有编号与新编号之间的关系为x = 2 * y - 1; 所以有J(n) = 2 * J(k) - 1;

   c. 当n = 2 * k + 1的时候，经过第一轮剔除，除了偶数编号的石子要被移除掉，编号为1的石子也会被移除；所以原有编号3变为移动到位置1，编号5移动到位置2，等等。可以得到关系x = 2 * y + 1; 所以有J(n) = 2 * J(k) + 1;

3. 第三种方法，我也不知道为什么~~~~~~

解决约瑟夫环的三种方法

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