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最近在看对数高斯Cox过程，其实就是泊松过程的一种形式，但是由于需要用到描述点过程密度的函数（尤其是该方法已经在应用并且效果良好），相关的资料却不多。这里简单整理一下这种方法（仅我自己的理解）

Spatial and Spatio-Temporal Log-Gaussian Cox Processes: Extending the Geostatistical Paradigm

未完待续

Introduction

Cox过程是点过程的一种，前提是满足下面两个条件

• 描述密度的Λ满足Λ={Λ(x):x∈R2}
• 非齐次泊松点过程的密度λ(x)是Λ的条件实现(conditional on realisation)

由于密度函数非其次且可以通过一种随机过程来描述，这就使得Cox过程具有极好的应用性，对点分布来说就可以很好的描述空间点的密度。

使用对数高斯Cox过程（LGCP）有一个很好的优势在于空间点的分布密度可以通过对数高斯过程得到，而这里点的分布可以是不完整的。但是区别于一般的高斯过程的机器学习方法，点过程中的训练输入量为二维空间中的点（在我现在的应用中只涉及2维），但是却没有相对应的相关训练输出。这就必须介绍如何使用高斯过程机器学习来计算LGCP

描述Cox过程

Cox过程的主要特性都继承自Λ(x)，例如，静态Cox过程的密度等于密度随机变量Λ(x)的期望，而Cox过程的密度的协方差等于Λ(x)的协方差。

因此写作λ=E[Λ(x)]，C(u)=Cov{Λ(x),Λ(x?u)}.LGCP即λ=exp{S(x)},其中S(x)是高斯过程。在静态条件下令μ=E[S(x)]以及C(u)=σ2r(u)=Cov{S(x),S(x?u)},那么Cox的密度均值和方差就满足LGCP对应的对数正态分布的均值和方差，即

理论上我们需要一个函数C(x,y)，并且有效的正定，即对任何正整数n，即点集xi∈R2}:i=1,...,n以及任意实数集ai:i=1,...,n有

一种简单的应用方法

上面的方式显然十分复杂，而高斯过程是很简单的应用方式。

对密度函数的描述可以简单的认为是泊松点过程密度定义的函数即可，即对于密度大小我们认为落在某个B区域里的点的个数来决定，这样就给出了有限个区域的点的密度，如果B区域是平面内均匀的分布的呢？（即按顺序取满平面空间）那么B平面取满了整个平面，并对区域内的密度进行了计算，就得到了密度函数。但是这个密度函数是基于区域的，并不是对空间的，所以这组区域上的密度数据就构成了训练数据。我们认为这组区域内的密度数据是不准确的，因为区域划定的不够小，所以在存在噪声的情况下对这组密度进行学习，就能够得到较为准确的描述密度的高斯过程。

显然，GP工具箱里面对密度函数的表示并未下太大心思，因为Tokdar and Ghosh (2007)年的文章给出了计算的解释。

GP工具箱的处理方式是很通俗的，假设平面上已知n个点，那么在有界的M?N的大小的平面上，均匀的分隔（grid）出以gridn为大小的区域，然后对每个区域计算落在这个区域里的点的数目，这样，每一个区域的位置（x,y）和对应的点的数目i就构成了GP的训练数据，而test则是M?N平面上更大范围数据的predict，这就简单的学习出了LGCP的密度函数，很偷懒但是思路还是对的。

对数高斯Cox过程

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原文地址：http://www.cnblogs.com/RegressionWorldLine/p/4641759.html