浮点数原理探究

一、文章来由

今天听到实验室有人问道浮点数的实现机制，之前刚好研究过原码、反码、补码、移码的关系，而这类问题很底层，一般容易忽视。干脆打破沙锅问到底，彻底搞清楚这个问题并留下证据，于是就有了这篇博文。

二、原码、反码、补码、移码

不要背复杂的公式，简记如下，都是用的最简单易懂的语言：
特别注意：首先要说明的是，正数的原、反、补码都一样；0的原码跟反码都有两个，因为这里0被分为+0和-0。

原码：

即直接的二进制表示，最高位为符号位：正数为0，负数为1 例如： X=+101011 , [X]原= 00101011
X=-101011 , [X]原= 10101011 位数不够的用0补全。

反码：

正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。 例如：X=-101011 , [X]原= 10101011，[X]反=11010100

补码：

正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
例如：X=-101011 , [X]原= 10101011，[X]反=11010100，[X]补=11010101
注：补码还有一种速算法，符号位不变，从原码低位开始从右向左数，直到遇到第一个1，保留这个1，以后的按位取反

PS：0的补码是唯一的，如果机器字长为8那么 [0]补=00000000

移码【最简单】：

不论正负数，只要将其补码的符号位取反即可。

例如：X=-101011 , [X]原= 10101011 ，[X]反=11010100，[X]补=11010101，[X]移=01010101

三、从定点到浮点

首先定点到浮点是一个飞跃，这里面的内容其实可以很简单也可以很复杂。我们一般说的整数都是定点整数，即小数点固定最后一位。但是整数既可以是整数，也可以是浮点数，例如255 是整数，而255.0 则是浮点数。

什么是浮点数？这需要从小数的表示讲起：

3.1 浮点数的表示

计算机中一个任意进制数 Ｎ 可以写成

m ：尾数，是一个纯小数。
e ：浮点的指数, 是一个整数。
R ：基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定Ｒ 为2，8或16

尾数主要是决定有效位，阶码主要表示位数（小数点位置）。
阶码：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围，常用补码或者移码表示
尾数： 决定了浮点数的数值精度，是定点小数，用补码表示，也决定了整个浮点数的符号

机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大，精度越低
浮点数表示范围比定点数大，精度高

画一个简单易懂的表格：
c语言float型数表示

浮点数表示范围如下图：

例：
8位定点小数可表示的范围
0.0000001 — 0.1111111
1/128 — 127/128

设阶码2位，尾数4位
可表示2-11*0.0001 — 211*0.1111
0.0000001 — 111.1

设阶码3位，尾数3位
可表示2-111*0.001 — 2111*0.111
0.0000000001 — 1110000

注：float和double的范围是由指数的位数来决定的。
float的指数位有8位，而double的指数位有11位，分布如下：
float：
1bit（符号位） 8bits（指数位） 23bits（尾数位）
double：
1bit（符号位） 11bits（指数位） 52bits（尾数位）

3.2 浮点数的规格化

规格化目的：
（1）为了提高数据的表示精度
（2）为了数据表示的唯一性
（3）尾数为R进制的规格化： 绝对值大于或等于1/R

二进制原码的规格化数的表现形式：
正数 0.1xxxxxx
负数 1.1xxxxxx

补码尾数的规格化的表现形式：尾数的最高位与符号位相反：
正数 0.1xxxxxx
负数 1.0xxxxxx

【32位浮点数，IEEE754采用127做阶码的偏移量】
IEEE754规定这个偏移量为2^(e-1)-1，e为存储指数的位元的长度,在32位浮点数中存储指数的域有8位因此偏移量位2^(8-1)-1=127。这里根据标准，并没有使用移码作为阶码
**注意IEEE754中的移码和通常用的移码不相同，IEEE754用的是127移码，即在原数上加127
而不是通常的128移码（也就是所说的补码符号位取反）**

例1：

如果反过来求就是，
例2

例3

3.3 移码的来由

一个很有意思的问题
说了这么多，由移码当阶码，到移码-1到阶码，都不知道为什么，现在就来看看。
根据百度百科移码上说的：

移码（又叫增码）是符号位取反的补码，一般用做浮点数的阶码，引入的目的是为了保证浮点数的机器零为全0。

原因是：

用补码表示阶码的时候，当阶码无限小，产生了下溢的时候，阶码变成了0，那么这个浮点数的值变为了1。
而实际上这个数是无限接近于零的。那么我们就需要取出其中的 “-0“ 值作为机器零。

详细解释如下：
因为浮点数的表示是1.s * (2 ^ P), 所以浮点数0实际上是取无限接近于0，而不是其数值上确实得等于0

0的表示实际上是1.0 * (2 ^ -128)，其中-128是阶码能表示的最小数

于是问题来了，如果用补码表示, -128实际上是10000000, 那么浮点数的0其数值就不能等于0. 所以采用移码.

但是IEEE754标准采用的是127移码，即在0的基础上加上127作为0，于是阶码表示范围是-127 - 128，而不是通常的-128 - 127

文章也基本上要告一段落了，这些应该已经可以对付日常理解，如果需要更深刻的理解，就需要查阅更多资料，如果博文中有不当的内容，欢迎批评指正，也欢迎讨论

附：
c++中，合法的浮点数表示形式：
（1）十进制小数形式。他有数字和小数点组成，必须有小数点。例如（123.）（123.0）（.123）。
（2）指数形式。如123e3。字母e（或E）之前必须有数字，e后面的指数必须为整数。
（3）规范化的指数形式里面，小数点前面有且只有一位非零的数字。如1.2345e8