十七、最短路径问题（Dijkstra）

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一、基本概念：

从起点出发找一条到达目的地的、边权和最小的路径，这就是单元最短路问题。

在最短路问题中，给出的是一个有向加权图G=(V,E)，边的权值是某种物理对象的度量标准，不一定是距离，它可以是时间，金钱，罚款，损失或任何其他路径线性积累的数量形式。

路径p=(V0,V1,......,Vk)的权是指其组成边的所有权值之和。定义u到v间最短路径的权为:

最短路径问题的3种类型:

1.单源最短路径问题：找出从每一节点v到某指定节点u的一条最短路径。把图中的每条边反向，我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。
2.单对节点间的最短路径问题：对于给定节点对u和v，找出从u到v的一条路径。
3.每对节点间的最短路径问题：对于每对节点u和v，找出从u到v的最短路径。可以使用Floyed-Warshall算法解决问题，但时间效率底下，且有不能出现负权回路的苛刻条件。不妨以每个节点为源点运行一次单源算法，以提高时效。

松弛技术是单源算法的核心

所谓松弛技术，就是反复减小每个节点的实际最短路径的权的上限，直到该上限等于最短路径的权为止。

定理：给定有向加权图G=（V，E），设P=<V1,V2,……,Vk>为从节点V1到节点Vk的一条路径，对任意i，j有i<=j<=k，设Pij=<Vi,Vi+1,…,Vj>为Vi到Vj的P的子路径，则Pij是从Vi到Vj的一条最短路径。

给定有向加权图G=（V，E），源点为s，则对于所有边（u,v）∈E，有&（s，v）<=&（s，u）+w（u,v）。

松弛技术:

对每个节点v∈V，设置一个属性d[v]来描述从源点s到v的最短路径的权的上界，称之为最短路长估计，设置f[v]表示v点的父亲。

Proc initiallze_single_source(G,s);
{
  for each v∈V[G] do {d[v]:=∞;f[v]=nil;}
  d[s]:=0;
}

松弛一条边（u,v）的过程包括测试是否可通过节点u对目前找出的到v的最短路径进行改进，如果可能则更新d[v]和f[v]，一次松弛操作可以减小最短路长估计d[v]并更新v的父亲f[v]。

Proc relax(u,v,w);
{
  if d[v]>d[u]+w[u,v] then {d[v]:=d[u]+w[u,v];f[v]:=u;}
}

二、Dijkstra算法：

Dijkstra算法解决了有向加权图的最短路径问题，该算法的条件是该图所有边的权值非负，即对于每条边(u,v)∈E，w(u,v)>=0;
Dijkstra算法中设置了一节点集合S，从源节点r到集合S中节点的最终最短路径的权均已确定，即对所有节点v∈S，有d[v]=&(r,v)，并设置了最小优先队列Q，该队列包含所有属于V-S的节点（即这些节点尚未确定最短路径的权），且以d值为关键字排列各节点。
初始时，Q包含了除r外的其他节点，这些节点的d值为∞。r进入集合S，d[r]=0。算法反复从Q中取出d值最小的节点u∈V-S，把u插入集合S中，并对u的所有出边进行松弛。这一过程一直进行到Q队列为空为止。

只要图中没有负权边，Dijkstra算法能够顺利完成。如果任何一条边的权值为负，则算法可能得出错误的答案。

Procedure Dijstra(G,w,r);
{
  initiallze_single_source(G,r);
  S:=∮;Q:=V[G];
  while Q<>∮ do
  {
    从最小优先队列Q中取出d值最小的节点u；
    S:=S∪[u];
    for v∈adj(u) do relax(u,v,w); 
  }
}

Dijkstra算法的执行速度取决于优先队列Q的数据结构。有3种数据结构可供选择：
（1）用一维数组实现优先队列，时间复杂度为O（V*V）。使用于规模不大的稠密图。
（2）用二叉堆来实现优先队列Q，时间复杂度为O（ElnV），使用于稀疏图。
（3）用Fibonacci堆实现优先队列，时间复杂度优化为O（VlnV+E）。但Fibonacci堆的程序实现相当繁琐，程序的实际运行效果不理想，不推荐使用。

Dijkstra算法与Prim算法的异同：
同：都是属于宽度优先搜索，且优先队列Q都是以距离d为关键字排列的，节点出队后都要进行松弛操作。
异：Dijkstra算法中的距离d是节点与源点间最短路长估计值，Prim算法中的距离d是节点连接生成树的最短边长。

变形:

求出最短路的路径
对于多条最短路存在的情况，求方案数
求次短路径

习题：

1.codevs1041

2.poj3013

3.poj1135

十七、最短路径问题（Dijkstra）

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原文地址：http://blog.csdn.net/boyxiejunboy/article/details/46908389