HDU 4893 Wow! Such Sequence!(2014年多校联合 第三场 G)（线段树）

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磨了一天的线段树，不能说完全搞清楚，只能说有一个大概的了解，靠着模板才把这道题A了，只能说太弱~~！

题意：

初始时有一字符串，全为0.

三种操作：

1 k d - add  把d加到第k个数上去
2 l r - query sum 计算l到r所有数的和
3 l r - change to nearest Fibonacci 把l到r的数修改为距离它最近的斐波那契数

节点附件三个值：

s1:由lazy控制的区间的正确的和。

s2:区间内与所有数相近的fib数之和，随着单点更新而更新。

col:lazy,标记区间是否全部取fib数，是取1，否则取0。

询问区间的和时，找到相应区间直接返回s1,若有col为1的区间要先向下推送，表示要取该区间的fib数的和。

代码以及详解：

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<math.h>
  3 #include<algorithm>
  4 using namespace std;
  5 const int maxm=100001;
  6 long long f[100]= {1,1};
  7 struct node
  8 {
  9     long long e,f;
 10     int flag;
 11 }a[maxm<<2];
 12 void pushup(int rt)
 13 {
 14     a[rt].e=a[2*rt].e+a[2*rt+1].e;
 15     a[rt].f=a[2*rt].f+a[2*rt+1].f;
 16 }
 17 void pushdown(int rt)
 18 {
 19     if(a[rt].flag)
 20     {
 21         a[2*rt].flag=1;
 22         a[2*rt+1].flag=1;
 23         a[2*rt].e=a[2*rt].f;
 24         a[2*rt+1].e=a[2*rt+1].f;
 25         a[rt].flag=0;
 26     }
 27 }
 28 
 29 //建树
 30 void build(int l,int r,int rt)
 31 {
 32     a[rt].flag=0;//先都初始化为0
 33     a[rt].e=0;//区间和初始化为0
 34     if(l==r)//如果只有一个元素
 35     {
 36         a[rt].f=1;//该节点的斐波那契数记为1，因为此时距离a[rt].e最近的斐波那契数为1
 37         return;
 38     }
 39     int m=(l+r)/2;//递归构造左右子树
 40     build(l,m,rt<<1);
 41     build(m+1,r,rt<<1|1);
 42     pushup(rt);//回溯更新父节点
 43 }
 44 
 45 
 46 void add(int pos,int m,int l,int r,int rt)
 47 {//要修改的元素的位置是pos，加数为m
 48     if(pos<l||pos>r)//如果pos不在区间范围内，则返回
 49         return ;
 50     if(l==r)//找到那个节点了
 51     {
 52         if(a[rt].flag)//如果这个节点是被处理过的，就是说它以及它的子孩子都已经是离它最近的斐波那契数了
 53         {
 54             a[rt].e=m+a[rt].f;//该节点的区间和为该节点的斐波那契数+m
 55             a[rt].flag=0;//由于节点的值已经修改过了，所以当前的a[rt].f不一定是正确的值了
 56         }
 57         else
 58             a[rt].e+=m;//没有被处理过，直接相加就好了
 59         int p=lower_bound(f,f+92,a[rt].e)-f;//二分查找：p是小于a[rt].e的第一个数
 60         if(!p)//如果不存在比a[rt].f大的数，那么离它最近的斐波那契数就是1了
 61             a[rt].f=1;
 62         else if(abs(a[rt].e-f[p])<abs(a[rt].e-f[p-1]))//比较第p个数和p-1个数哪个离a[rt].e近，把a[rt].f赋为较近的那个
 63             a[rt].f=f[p];
 64         else
 65             a[rt].f=f[p-1];
 66         return;
 67     }
 68     pushdown(rt);//延迟标记法，判断孩子节点是否需要更新，需要更新就更新
 69     int mid=(l+r)/2;
 70     if(pos<=mid)
 71         add(pos,m,l,mid,2*rt);
 72     else
 73         add(pos,m,mid+1,r,2*rt+1);
 74     pushup(rt);//回溯更新根节点
 75 }
 76 
 77 
 78 //将l到r的数赋为离他最近的斐波那契数
 79 void change(int L,int R,int l,int r,int rt)
 80 {
 81     if(R<l||L>r)
 82         return;
 83     if (L <= l && r <= R)
 84     {
 85         a[rt].e=a[rt].f;//将e的值修改为f的值
 86         a[rt].flag=1;//标记修改过了
 87         return ;
 88     }
 89     pushdown(rt);//向下更新子节点
 90     int m = (l + r) >> 1;
 91     if (L <= m) change(L , R, l,m,rt<<1);
 92     if (m < R) change(L , R ,m+1,r,rt<<1|1);
 93     pushup(rt);//回溯更新父节点
 94 }
 95 
 96 //计算l到r个数的和
 97 long long query(int L,int R,int l,int r,int rt)
 98 {
 99     if(R<l||L>r)
100         return 0;
101     else if (L <= l && r <= R)
102     {
103         return a[rt].e;
104     }
105     pushdown(rt);//向下更新子节点
106     int m = (l + r) >> 1;
107     long long ret = 0;
108     if (L <= m) ret += query(L , R , l,m,rt*2);
109     if (m < R) ret += query(L , R , m+1,r,rt*2+1);
110     return ret;
111 }
112 int main()
113 {
114     int n,m,i,op;
115     int l,r;
116     int k,d;
117     for(i=2; i<=92; i++)//打出斐波那契表
118         f[i]=f[i-1]+f[i-2];
119     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
120     {
121         build(1,n,1);//建树
122         while(m--)//m种操作
123         {
124             scanf("%d",&op);
125             if(op==1)
126             {
127                 scanf("%d%d",&k,&d);
128                 add(k,d,1,n,1);//给第k个数加上d；
129             }
130             else
131             {
132                 scanf("%d%d",&l,&r);
133                 if(op==2)
134                     printf("%I64d\n",query(l,r,1,n,1));//计算l到r个数的和
135                 else
136                     change(l,r,1,n,1);//将l到r的数赋为离他最近的斐波那契数
137             }
138         }
139     }
140     return 0;
141 }

现附上线段树的一些基本概念以及两个常用模板：

线段树详解

1.概述

线段树类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，每个操作的复杂度为O（lgN）。

线段树的性质：若父区间是[a,b].(c=(a+b)/2),左儿子区间为[a,c],右儿子区间为[c+1,b],线段树需要的空间是数组大小的四倍。

2.基本操作

（1）线段树的构造(void build(int node,int begin,int end);)

运用递归的思想，如果当前结点记录的区间只有一个值，则直接赋值，                      否则递归左右子树。

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxind = 256;

int segTree[maxind * 4 + 10];  //用来存储线段树，大小要大于原数组的四倍

int array[maxind];

/* 构造函数，得到线段树 */

void build(int node, int begin, int end)//node记录的是线段树的节点号

{

    if (begin == end)

        segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */

    else

    {

        /*递归构造左右子树 */

        build(2*node, begin, (begin+end)/2);//构造左孩子

        build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);//构造右孩子

        /*回溯时得到当前node节点的线段信息 */

        if(segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])//把较小的数赋给左孩子

            segTree[node] = segTree[2 * node];

        else

            segTree[node] = segTree[2 * node + 1];

    }

}

int main()

{

    array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;

    build(1, 0, 5);

    for(int i = 1; i<=20; ++i)

     cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;

    return 0;

}

（2）区间查询(int query(int node,int begin,int end,int left,int right);)

主要思想是把所要查询的区间[a,b],划分为线段树上的结点，然后将这些结点代表的区间合并起来得到所需要的信息。

代码如下：

//其中node为当前查询结点，begin，end为当前存储的区间，left，right为此次query所要查询的区间。

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    

{   

    int p1, p2;        

    /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  

    if (left > end || right < begin)    

        return -1;    

    /* 如果当前区间在查询区间内 ，返回该节点的值*/    

    if (begin >= left && end <= right)    

        return segTree[node];    

    /*  比较左右子树两个节点值的最小值  */  

    p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   

    p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    

    if (p1 == -1)    

        return p2;    

    if (p2 == -1)    

        return p1;    

    if (p1 <= p2)    

        return  p1;    

    return  p2;      

}   

这样的过程一定选出了尽量少的区间，他们连后一定涵盖整个[left,right],没有重复也没有遗漏，线段树并不适合所有区间查询情况，它使用的条件是“相邻区间的信息可以被合并成两个区间合并的信息”，即问题是可以被分解解决的。

（3）区间或结点的更新 及线段树的动态维护（线段树的核心价值所在）

A.单节点更新

void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    

{    

    if( begin == end )    

    {    

        segTree[node] += add;    

        return ;    

    }    

    int m = ( left + right ) >> 1;    

    if(ind <= m)    

        Updata(node * 2,left, m, ind, add);    

    else    

        Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    

    /*回溯更新父节点*/    

    segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     

} 

B.区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个节点新增加一个标记，用来记录这个节点是否被进行了某种修改操作（这种修改操作会影响其子节点），对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些节点中的信息，并给这些节点标上代表这种操作的标记，在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那我们就要看p有没有标记，如果有，就按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时取+消掉p的标记。

代码如下

void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  

{  

  if (a <= p->Left && p->Right <= b)  

  /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  

  {  

     ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  

     return; 

  }  

  Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  

  int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 */

  if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  

  if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  

  Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  

} 

线段树的主要运用：

1.区间最值查询问题：模板一；

2.连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题：模板二；

3.多维空间的动态查询：模板三；

典型模板：

模板一：查询区间最值下标：

#include <iostream>

#include <string.h>

using namespace std;

#define maxind 256 //线段树节点个数

void build(int node,int b,int e,int m[],int a[])

{

    if(b==e)

        m[node]=b;//只有一个元素

    else

    {

        build(2*node,b,(b+e)/2,m,a);

        build(2*node+1,(b+e)/2+1,e,m,a);

        if(a[m[2*node]]<=a[m[2*node+1]])

            m[node]=m[2*node];

        else

            m[node]=m[2*node+1];

    }

}

int query(int node,int b,int e,int m[],int a[],int i,int j)

{

    int p1,p2;

    if(i>e||j<b)

        return -1;

    if(b>=i&&e<=j)

        return m[node];

    p1=query(2*node,b,(b+e)/2,m,a,i,j);

    p2=query(2*node+1,(b+e)/2+1,e,m,a,i,j);

    if(p1==-1)

        return m[node]=p2;

    if(p2==-1)

        return m[node]=p1;

    if(a[p1]<=a[p2])

        return m[node]=p1;

    else

        return m[node]=p2;

}

int main()

{

    int l,r;//查询区间

    scanf("%d%d",&l,&r);

    int m[maxind];//下标从1起才有意义，否则不是二叉树

    //保存下标编号结点对应区间最小值的下标

    memset(m,-1,sizeof(m));

    int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};

    build(1,0,sizeof(a)/sizeof(a[0])-1,m,a);

    cout<<query(1,0,sizeof(a)/sizeof(a[0])-1,m,a,l,r)<<endl;

    return 0;

}

模板二：

#include<stdio.h>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxm=111111;

long long add[maxm<<2];

long long sum[maxm<<2];

void pushup(int rt)

{

    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];

}

void pushdown(int rt,int m)

{

    if(add[rt])

    {

        add[rt<<1] += add[rt];

        add[rt<<1|1] += add[rt];

        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));

        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);

        add[rt] = 0;

    }

}

void build(int l,int r,int rt)

{

    add[rt]=0;

    if(l==r)

    {

        scanf("%lld",&sum[rt]);

        return;

    }

    int m=(l+r)/2;

    build(l,m,rt<<1);

    build(m+1,r,rt<<1|1);

    pushup(rt);

}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

    if (L <= l && r <= R) {

        add[rt] += c;

        sum[rt] += (long long)c * (r - l + 1);

        return ;

    }

    pushdown(rt , r - l + 1);

    int m = (l + r) >> 1;

    if (L <= m) update(L , R , c , l,m,rt<<1);

    if (m < R) update(L , R , c , m+1,r,rt<<1|1);

    pushup(rt);

}

long long query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

    if (L <= l && r <= R) {

        return sum[rt];

    }

    pushdown(rt , r - l + 1);

    int m = (l + r) >> 1;

    long long ret = 0;

    if (L <= m) ret += query(L , R , l,m,rt<<1);

    if (m < R) ret += query(L , R , m+1,r,rt<<1|1);

    return ret;

}

int main()

{

    int n,q;

    scanf("%d%d",&n,&q);

    build(1,n,1);

    while(q--)

    {

        char op[2];

        int a,b,c;

        scanf("%s",op);

        if(op[0]==‘Q‘){

            scanf("%d%d",&a,&b);

            printf("%lld\n",query(a,b,1,n,1));

        }

        else

        {

            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

            update(a,b,c,1,n,1);

        }

    }

    return 0;

}

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