动态规划-矩阵连乘

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动态规划四个步骤：

1）描述最优解的结构

2）递归定义最优解的值

3）按自底向上的方式计算最优解的值

4）由计算出的结果构造一个最优解

定义：p_i-1表示第i个矩阵的行数，p_i表示第i个矩阵的列数

　　   A_i..j表示对乘积A_iA_i+1...A_j求值的结果

        i<j，i<=k<j

　　　m[i,j]：表示矩阵A_i..j所需标量乘法运算次数的最小值

矩阵连乘：

1）描述最优解：找到最优子结构

假设最优解把乘积在A_k与A_k+1分开，那么AiAi+1...Ak和Ak+1...Aj的最优解必定是A_iA_i+1...A_j的最优解的部分

2）递归定义最优解的值

3）按自底向上的方式计算最优解的值：防止重复的求解公共子问题

按上面的递归方法求解，则复杂度还是指数级别的，而原问题的子问题其实只有O(n²)个。

使用辅助表m[1..n,1..n]存储m[i,j]的代价，用s[1..n,1..n]来记录计算m[i,j]时取得最优代价处k的值

算法大概思路：

1）设m[i,i]=0

2）for l=2:n

　　　　计算m[i,i+l-1]

代码如下：（时间复杂度O(n³)，空间复杂度O(n²)）

动态规划-矩阵连乘

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xiangzhi/p/4656282.html