求简单多边形面积时非常有用的一个公式

目的

学习和介绍一个有用的求任意简单多边形面积的经典公式。
所谓“简单多边形”，可以是凹、或凸多边形，但原则上边与边之间不能有交叉；或者，拓扑一点，从多边形卷绕数的角度，多边形内的点卷绕数只能是$\pm 1$。

这个公式有悠久的历史，而且计算中十分有用，可惜维基里面只有英文版。

Shoelace公式

这里的shoelace,——“鞋带”——，并不是人名，所以翻译成“鞋带公式”没有任何问题。这个名字是怎么来的呢？因为实际计算中，公式以$n\times 2$ 的矩阵形式表示多边形上顺序排列的顶点，行列式的计算又存在错位，形如所系的“鞋带”，所以才得名。又叫“鞋带算法”、“鞋带法”、“高斯面积公式”、测量员公式。

维基上的简单例子是这样的，比如已知 $\Delta ABC$ 三个顶点的坐标 $A: (x_1,y_1)$、 $B: (x_2,y_2)$、 $C: (x_3,y_3)$，对应的矩阵是这样的：

$$\left[ \begin{array}{ccc} \\[-5pt] x_1 & &y_1 \& \quad &\\[8pt] x_2 & &y_2 \ & \quad&\\[8pt] x_3 & &y_3 \& \quad&\\[8pt] x_1 & &y_1 \\\end{array} \right]\quad{\Huge\Rightarrow}\quad\left[ \begin{array}{ccc} \ x_1 & &y_1 \&\ddots& \ x_2 & &y_2 \ &\ddots&\ x_3 & &y_3 \&\ddots& \ x_1 & &y_1 \ \\end{array} \right]{\Huge\Rightarrow}\quad\left[ \begin{array}{ccc} \ x_1 & &y_1 \&{\huge\times}& \\[5pt] x_2 & &y_2 \ &{\huge\times}&\\[5pt] x_3 & &y_3 \&{\huge\times}& \\[5pt] x_1 & &y_1 \ \\end{array} \right]$$

计算面积时，先根据中间一个矩阵，计算

$$a=(x_1 \times y_2)+(x_2\times y_3)+(x_3\times y_1)$$
再从最右侧矩阵计算
$$b=(y_1 \times x_2)+(y_2\times x_3)+(y_3\times x_1)$$
则三角形面积为：
$$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|a-b\right|=\dfrac{1}{2}\left|\left((x_1 \times y_2)+(x_2\times y_3)+(x_3\times y_1)\right)-\left((y_1 \times x_2)+(y_2\times x_3)+(y_3\times x_1)\right)\right|$$

代入一个简单的情形试试，$A:(0,4),\;B:(0,0),\;C:(3,0)$，则是一个直角顶点在原点，底 $3$ 高 $4$ 面积为 $6$ 的直角三角形:

$$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left((x_1 \times y_2)+(x_2\times y_3)+(x_3\times y_1)\right)-\left((y_1 \times x_2)+(y_2\times x_3)+(y_3\times x_1)\right)\right|$$
$$=\dfrac{1}{2}\left|\left((0 \times 0)+(0\times 0)+(3\times 4)\right)-\left((4 \times 0)+(0\times 3)+(0\times 0)\right)\right|=6$$

当简单多边形边数或顶点数更多时，则计算面积时上述矩阵为 $n\times 2$ 维，计算规则不变。

公式的一般形式：

$$A=\dfrac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n x_i\left(y_{i+1}-y_{i-1}\right)\right| =\dfrac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n y_i\left(x_{i+1}-x_{i-1}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n\det\left( \begin{array}{cc} x_i & x_{i+1} \ y_i & y_{i+1} \\end{array} \right)\right|$$
公式中约定： 当下标大于 $n$ 时， $x_{n+1}=x_1$, $y_{n+1}=y_1$。

它可以看作格林公式用于面积计算时的特殊情形。

证明

证明因为不难，用Green定理来证时，只须假设合适的向量场，也比较方便。所以就不写了。

这个讲完之后，后面介绍它在近似数值计算求复杂闭曲线所包围面积中的一个应用。