leetcode | sqrt(x)

sqrt(x) : https://leetcode.com/problems/sqrtx/

Implement int sqrt(int x).
Compute and return the square root of x.

解析：
容易想到的是用二分法去试，但收敛速度太慢，不能满足时间要求。
我们知道求根公式，牛顿迭代法 点击查看维基百科

首先，选择一个接近函数$f(x)$零点的$x_0$，计算相应的$f(x_0)$和切线斜率$f‘(x_0)$（这里$f‘$表示函数$f$的导数）。然后我们计算穿过点$(x_0, f(x_0))$并且斜率为$f‘(x_0)$的直线和x轴的交点的x坐标，也就是求如下方程的解：

对于求a的m次方根。
以牛顿法来迭代：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f‘(x_n)}$

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^m-a}{mx_n^{m-1}}$

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n}{m}(1-ax_n^{-m})$

(或$x_{n+1} = x_n - \frac{1}{m}\left(x_n-a\frac{x_n}{{x_n}^m}\right)$)

将本题中的$m=2$带入得到，$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x < 0)
            return 0;
        double root = x/2.0; // init
        while (abs(root*root - x) > 0.1) {
            root = 0.5*(root+x/root); // 牛顿迭代公式
        }
        return (int)root;
    }
};