标签：
递归的概念
一个函数、过程、概念或数据结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现有其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须用到它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义的方法，称之为递归或者递归定义。
在程序设计中，过程或函数直接或者间接调用自己，就称为递归调用
递归过程实际上借助于一个递归工作栈来实现的。
首先问题向一个方向一步一步分解，既问题规模逐渐降低，这样，问题向一极推进的过程称之为递归过程；
然后这些问题又按后提出先解决的顺序依次得到解决，最后得到原问题的解。这样，在子问题得到逐一解决的基础上，最后回到原问题的解的变化过程，称之为回归过程。
递归定义的要素
1、递归边界或终止条件。
2、递归定义，使问题向边界条件转化的规则。
var
n:integer;
function fibonacci(x:integer):integer;
begin
if (x=0) or (x=1) then exit(1);
exit(fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2));
end;
begin
readln(n);
writeln(fibonacci(n));
end.
集合的划分
设ｓ是一个具有n个元素的集合，ｓ＝｛a1，a2，……，an｝，现将ｓ划分成K个满足下列条件的子集合s1，s2，……，sk ，且满足：
1．si≠φ
2．si∩sj＝φ (1≤i，j≤k i≠j)
3．s1∪s2∪s3∪…∪sk＝ｓ
则称s1，s2，……，sk是集合ｓ的一个划分。它相当于把ｓ集合中的n个元素a1 ，a2，……，an 放入k个（0<k≤n<30）无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数s(n，k)。
先举个例子，设S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不难得出ｓ有6种不同的划分方案，即划分数s(4，3)=6，具体方案为：
｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝
｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝
｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝
｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝
｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝
｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝
考虑一般情况，对于任意的含有n个元素a1 ，a2，……，an的集合s，放入k个无标号的盒子中去，划分数为s(n，k)，我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案，必须归纳出问题的本质。
下面考虑对任一个元素an，则必然出现以下两种情况：
1、｛an｝是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1 划分为k－1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有s(n－1，k－1)个；
2、｛an｝不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k个子集，这种情况下划分数共有ｓ(n－1，k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k*ｓ(n－1，k)个。
综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公式：
ｓ(n，k)＝ｓ(n－1，k－1)+k*s(n－1，k) (n>k，k>0)。
确定s(n，k)的边界条件
首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去，即k=0时，ｓ(n，k)＝0；
也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时,ｓ(n，k)＝0；
再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，s(n,k)=1。
可以得出划分数ｓ(n，k)的递归关系式为：
s(n，k)＝s(n－1，k－1)+k*s(n－1，k) (n>k，k>0)
s(n，k)＝0 (n<k)或(k＝0)
s(n，k)＝1 (k=1)或(k＝n)
递归与非递归的转化
在递归调用的过程中，由于要保留每次调用时的参数和局部变量，而且要经过逐层调用和逐层返回两大过程，程序对于时间和存储空间的耗费可以说是巨大的。因此，在一个问题对于时空要求较高的情况下，有时不得不将递归方法转化成非递归方法，这一过程，常常称之为消除递归。消除递归的过程，其本质上就是要求模拟复杂的递归工作栈的变化过程，虽然递归与非递归在形式上大多能够相互转化，但是，非递归的编程难度要远远高于递归的方法
递推
在问题类型中，每个数据项都和它前面的若干个数据项（或后面的若干个数据项）有一定的关联，这种关联一般是通过一个递推关系式来表示的。求解问题时就从初始的一个或若干个数据项出发，通过递推关系式逐步推进，从而得到最终结果。这种求解法就叫递推法
var
a:array[0..100] of longint;
i:integer;
begin
readln(n);
a[0]:=1;
a[1]:=1;
for i:=2 to n do
a[i]:=a[i-1]+a[i-2];
writeln(a[n]);
end.
算法框架
1、确定求解初始条件
2、求出递推公式
3、从边界出发进行顺推或倒推
4、输出结果
具体详见：
http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8913331
http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8913339
http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8913343
（不用积分下载哦）
版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。
标签：
原文地址：http://blog.csdn.net/boyxiejunboy/article/details/46953983
