（一）欧拉积分

时间：2014-05-04 11:54:07 阅读：500 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

欧拉是数学家心目中的英雄，欧拉积分具有重要的应用。先给出欧拉积分的性质以便为进入分数阶微积分打下基础。

1.1 $\beta$函数定义

B (α, β) = \int 10 x α ? 1 (1 ? x) β ? 1 d x

$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

易看出$0$和$1$为奇点，积分在$\alpha>0,\beta>0$时收敛.
a.对称性

B (α, β) = B (β, α)

$B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha)$
只需作积分变量代换$x=1-t$即可.

B (α, β) = = = \int 10 x α ? 1 (1 ? x) β ? 1 d x \int 10 (1 ? t) α ? 1 t β ? 1 d t B (β, α)

$\begin{eqnarray*} B(\alpha,\beta)&=&\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx\\&=&\int_{0}^{1}(1-t)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt\\&=&B(\beta,\alpha) \end{eqnarray*}$
b.递推公式
如果$\alpha>1$,那么成立等式

B (α, β) = α ? 1 α + β ? 1 B (α ? 1, β)

$B(\alpha,\beta)= \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-1}B(\alpha-1,\beta)$
证明：利用分部积分法

B (α, β) = = = = ? 1 β x α ? 1 (1 ? x) β | 10 + α ? 1 β \int 10 (1 ? x) β x α ? 2 d x \int 10 (1 ? x) β ? 1 (1 ? x) x α ? 2 d x α ? 1 β \int 10 (1 ? x) β ? 1 x α ? 2 d x ? α ? 1 β \int 10 (1 ? x) β ? 1 x α ? 1 d x α ? 1 β B (α ? 1, β) ? α ? 1 β B (α, β)

$\begin{eqnarray*} B(\alpha,\beta)&=&-\frac{1}{\beta}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta}|_{0}^{1}+\frac{\alpha-1}{\beta}\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta}x^{\alpha-2}dx\\ &=&\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta-1}(1-x)x^{\alpha-2}dx\\ &=&\frac{\alpha-1}{\beta}\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta-1}x^{\alpha-2}dx-\frac{\alpha-1}{\beta}\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta-1}x^{\alpha-1}dx\\ &=&\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha-1,\beta)-\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$
从而有

B (α, β) = α ? 1 α + β ? 1 B (α ? 1, β)

$B(\alpha,\beta)= \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-1}B(\alpha-1,\beta)$
一个特例$m,n\in N_{+}$

B (m, n) = ( m ? 1 ) ! ( n ? 1 ) ! ( m + n ? 1 ) !

$B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$
c.其他变化形式
令$x=\sin^{2}t$,则有

B (α, β) = \int π / 2 0 sin 2 α ? 1 t cos 2 β ? 1 t d t

$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2\alpha-1}t\cos^{2\beta-1}tdt$
令$x=\frac{y}{1+y}$，则有

B (α, β) = \int \infty 0 y α ? 1 ( 1 + y ) α + β d y

$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha+\beta}}dy$
特别地，

B (α, 1 ? α) = \int \infty 0 y α ? 1 1 + y d y

$B(\alpha,1-\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\alpha-1}}{1+y}dy$
1.2 $\Gamma$函数
定义

Γ (s) = \int \infty 0 x s ? 1 e ? x d x

$\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$
a.可微性
$\Gamma$函数无限次可微且

Γ (n) (s) = \int + \infty 0 x s ? 1 ln n x e ? x d x

$\Gamma ^{(n)}(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}\ln^{n}xe^{-x}dx$
b.递推公式

Γ (s + 1) = s Γ (s)

$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
证明：利用分部积分法

Γ (s + 1) = = = \int + \infty 0 x s e ? x d x ? x s e ? x | + \infty 0 + s \int + \infty 0 x s ? 1 e ? x d x s Γ (s)

$\begin{eqnarray*} \Gamma(s+1)&=&\int_{0}^{+\infty}x^{s}e^{-x}dx\\ &=&-x^{s}e^{-x}|_{0}^{+\infty}+s\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\\ &=&s\Gamma(s) \end{eqnarray*}$
一个特例

Γ (n) = (n ? 1)!

$\Gamma(n)=(n-1)!$
c.极限表达式（欧拉公式）

Γ (s) = lim n \to \infty n s ( n ? 1 ) ! s ( s + 1 ) ? ( s + n ? 1 )

$\Gamma(s)=\lim_{n\to \infty}n^{s} \frac{(n-1)!}{s(s+1)\cdots (s+n-1)}$
证明：

Γ (s) = = = = = = \int \infty 0 e ? x x s ? 1 d t lim n \to \infty \int n 0 (1 ? x n) n x s ? 1 d t lim n \to \infty n s \int 10 (1 ? τ) n τ s ? 1 d τ lim n \to \infty n s B (n + 1, s) lim n \to \infty n s Γ ( n + 1 ) Γ ( s ) Γ ( n + s + 1 ) lim n \to \infty n s ( n ? 1 ) ! s ( s + 1 ) ? ( s + n ? 1 )

$\begin{eqnarray*} \Gamma(s)&=&\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dt\\ &=&\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{n}(1-\frac{x}{n})^{n}x^{s-1}dt\\ &=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\int_{0}^{1}(1-\tau)^{n}\tau ^{s-1}d\tau\\ &=&\lim_{n\to \infty}n^{s}B(n+1,s)\\ &=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(s)}{\Gamma(n+s+1)}\\ &=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\frac{(n-1)!}{s(s+1)\cdots (s+n-1)} \end{eqnarray*}$
d.余元公式

Γ (s) Γ (1 ? s) = π sin π s (0 < s < 1)

$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)$
证明：
利用上式所得到的极限表达式，则得

Γ (s) Γ (1 ? s) = = = lim n \to \infty n s ( n ? 1 ) ! s ( s + 1 ) ? ( s + n ? 1 ) n 1 ? s ( n ? 1 ) ! ( 1 ? s ) ( 2 ? s ) ? ( n ? s ) 1 s lim n \to \infty n 1 ( 1 + s ) ( 1 + 2 s ) ? ( 1 + s n ? 1 ) 1 ( 1 ? s ) ( 1 ? s 2 ? ( 1 ? s n ? 1 ) ( n ? s ) 1 s 1 \prod \infty n = 1 ( 1 ? s 2 n 2 )

$\begin{eqnarray*} \Gamma(s)\Gamma(1-s)&=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\frac{(n-1)!}{s(s+1)\cdots (s+n-1)}n^{1-s}\frac{(n-1)!}{(1-s)(2-s)\cdots (n-s)}\\ &=&\frac{1}{s} \lim_{n\to\infty}n\frac{1}{(1+s)(1+\frac{2}{s})\cdot (1+\frac{s}{n-1})} \frac{1}{(1-s)(1-\frac{s}{2}\cdot (1-\frac{s}{n-1})(n-s)}\\ &=&\frac{1}{s}\frac{1}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{s^2}{n^2})}\\ \end{eqnarray*}$
利用由Euler发现的等式

sin π x = π x \prod n = 1 \infty (1 ? x 2 n 2)

$\sin \pi x=\pi x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2})$
于是成立余元公式

Γ (s) Γ (1 ? s) = π sin π s (0 < s < 1)

$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)$
特别地,令$s=\frac{1}{2}$

Γ (1 2) = π \sqrt

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
e.$\Gamma$函数与$\beta$函数的关系

B (α, β) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β )

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$
证明：
作变换$x=u^{2},y=v^{2}$则

Γ (α) Γ (β) = = = = = \int + \infty 0 x α ? 1 e ? x d x \int + \infty 0 y β ? 1 e ? y d y 4 \int + \infty 0 u 2 α ? 1 e ? u 2 d u \int + \infty 0 v 2 β ? 1 e ? v 2 d v 4 \int + \infty 0 \int + \infty 0 u 2 α ? 1 v 2 β ? 1 e u 2 + v 2 d u d v 4 \int π / 2 0 cos 2 α ? 1 θ sin 2 β ? 1 θ d θ (L e t u = r cos θ, v = r sin θ) B (α, β) Γ (α + β)

$\begin{eqnarray*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=&\int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\int_{0}^{+\infty}y^{\beta-1}e^{-y}dy\\ &=&4\int_{0}^{+\infty}u^{2\alpha-1}e^{-u^2}du\int_{0}^{+\infty}v^{2\beta-1}e^{-v^2}dv\\ &=&4\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}u^{2\alpha-1}v^{2\beta-1}e^{u^2+v^2}dudv\\ &=&4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2\alpha-1}\theta\sin^{2\beta-1}\theta d\theta(Let\ \ u=r\cos\theta,v=r\sin\theta)\\ &=&B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$
f.$\Gamma$函数的推广

Γ (x) = \sum n = 0 \infty ( ? 1 ) n n + x ? 1 n ! + \int \infty 1 t x ? 1 e ? t d t

$\Gamma(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x}\cdot \frac{1}{n!}+\int_{1}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$
这个等式对除去点$0,-1,-2,\cdots$以外的复数$z$定义$\Gamma(z)$.
g.所谓的倍角公式($Legendre$)

Γ (s) Γ (s + 1 2) = π \sqrt 2 1 ? 2 s Γ (2 s)

$\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}2^{1-2s}\Gamma(2s)$
此式可作进一步的推广

Γ (s) Γ (s + 1 m) Γ (s + 2 m) ? Γ (s + m ? 1 m) = (2 π) (m ? 1) / 2 m 1 / 2 ? m s Γ (m s)

$\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{m})\Gamma(s+\frac{2}{m})\cdots \Gamma(s+\frac{m-1}{m})=(2\pi)^{(m-1)/2}m^{1/2-ms}\Gamma(ms)$

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（一）欧拉积分

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