概述

什么是四元数

四元数就是4个数的组合(q, a, b, c)，或者记作

$$s+ia+jb+kc其中 s,a,b,c\in R$$ 被称为超复数，它有1个实部和3个虚部，其主要用处是用来实现3维空间中的旋转。

历史

四元数是爱尔兰数学家哈密尔顿1841年发现的，是理论领先实际的一个例子，数学中很多内容都是这样，黎曼集合解释相对论，数论知识用于密码学都是这样，因为复数有一个很好的几何解释，就是二维空间的旋转，$i=\sqrt{-1}$可以看做是二维空间的旋转，数1逆时针旋转90度得到i，再旋转90度得到-1。于是哈密尔顿那个时代很多数学家都希望把复数进行推广，得到一个3维空间中旋转的类似复数的东西，哈密尔顿也在做这样的工作，但是他发现无论如何定义三元组的乘法，都没法实现除法，据说1842年的某一天他来到法国都林布鲁姆桥上突然想到，向三元组增加第4个数就会让除法成为可能

$$i^2=j^2=k^2=-1$$ $$ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j$$ 现在布鲁姆桥上刻了相关文字纪念这件事。

争论

哈密尔顿深入研究了四元数，他生命最后22年基本就在干两件事，研究四元数和说服别人接受四元数，写了上千页的数。人们问哈密尔顿，四元数的第四维意义是啥，哈密尔顿说是时间，他成了将时空联系起来的第一任，虽然只是在一个数学元素中。所以四元数不被当时的人们接受，因为至少在当时，这个东西基本没有实用价值，连当时连最顶级的科学家都说这是“不祥之物“，比如汤普森、麦克斯韦。直到20世纪人们才完全接受了四元数，理解了他的物理意义就是三维空间的旋转，也是表示三维空间物体自转的最好方式，用于三维图形学，还有质子、中字、电子这些微小但愿的研究。比如unity中物体的旋转用的就是四元数，虽然也可以用欧拉角表示旋转。

代数

四元数不能被接受的一个原因是其计算不满足交换律$ab\neq ba$，以前的人觉得这应该是理所当然的，当然现在的数学家已经不这么认为了，不满足啥都行，只要值得研究，顶多就是多增加个数学词汇。四元数被理所当然推广到更多元数，8元数，16元数，维数增加一倍就减少一些性质，8元数不满足结合律，16元数则根本不可能有除法。再推广就是更普遍的代数结构：环：加法减法乘法，群：加减法或乘除法。

欧拉角旋转

欧拉角

构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。——引自百度百科
莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。——引自wikipedia

旋转矩阵

绕3个轴旋转一定角度的矩阵为

$$\begin{matrix} \cos\beta&-\sin\beta&0 \\sin\beta&\cos\beta&0 \0&0&1 \\1&0&0 \0&\cos\beta&-\sin\beta\0&\sin\beta&\cos\beta\\\cos\beta&0&-\sin\beta\0&0&1\-\sin\beta&0&\cos\beta\\end{matrix}$$

绕任意轴旋转

取一个轴，比如x轴为基准，假设旋转轴为$\widehat n=a\mathbf i+b\mathbf j+c\mathbf k$，假设$\widehat n$表示为球坐标，水平角度为$\phi$，垂直角度为$\theta$，则旋转矩阵为

$$[x^{‘},y^{‘},z^{‘}] = R_{-\phi,y}R_{\theta,z}R_{\alpha,x}R_{-\theta,z}[x,y,z]R_{\phi,y}$$
上面的R都是上面讨论过的旋转矩阵
如果轴不经过原点，可以先平移到原点，用上面方式旋转完成，然后再平移回去

万向节死锁

用欧拉角表示旋转的问题就是万向节死锁，死锁其实没有锁死，这个问题的关键是在”死锁“发生的情况下，用欧拉角表示的旋转没法在三维空间平滑过渡，在很多情况下，可以通过巧妙选择旋转顺序避免万向节死锁的发生，但是没有能够完全解决这个问题的办法。四元数则完全没有这个问题

四元数

四元数代数

四元数相关内容研究的就是四元数作为一个代数结构的各种运算，包括各种表示和运算操作，最基本的内容就是：
表示
$q=s+xi+yj+zk\quad s,x,y,z\in R,i^2=j^2=k^2=-1$
$q=[s+v]\quad\quad s\in R,v\in R^3$
加减运算
$ij=k,jk=i,ki=j,ijk=-1$，满足结合律
$+-$就是各个元素分开加减
共轭
$q=[s,v],q^*=[s,-v]$
模
$|z|=\sqrt{s^2+v^2}$
标准四元数
模为1的四元数
乘法
$q_aq_b=[s_a,\mathbf a][s_b,\mathbf b]=[s_as_b-\mathbf a\cdot \mathbf b,S_a\mathbf b+s_b\mathbf a+\mathbf a\times \mathbf b]$
逆
$q^{-1}=\frac{q^*}{|q|^2}$

旋转

令q为标准四元数$q=[s,v],|s|^2+|v|^2=1$，可以表示为$q=\cos\theta+\sin\theta \mathbf v$。令$p=[0,\mathbf p]$，对点$\mathbf p$绕轴v旋转角度$\theta$可以用下式实现

$$qpq^{-1}$$
剩下的内容就是一些计算相关东西了，很多资料可以查到四元数的计算方法

参考资料

Quaternions for computer graphics by John Vince
介绍四元数很好的书
http://www.cnitblog.com/luckydmz/archive/2010/09/07/68674.html
这个网页里面的视频很好地解释了万向节死锁