动态规划求解最大字段和及其变种问题

动态规划（Dynamic Programming, DP）为一常用算法思想，本文讲述如何利用DP解决常见的最大字段和及其变种问题。

一、 最大字段和问题

问题定义

设数组为$a[k]$，$1 \le k \le n$，最大字段和$X$定义为：

$$X=\max_{1\le i \le j \le n}\{\sum_{k=i}^j a[k]\}$$

$X$直观含义即，求任一连续字数组的最大和。

问题分析

不妨设：

$$b[j]=\max _{1 \le m \le j } \{ \sum _{k=m}^j a[k] \}$$
其中，$1 \le j \le n$
$b[j]$的直观含义为，以$a[j]$为结束元素的连续数组的最大和。
由$X$和$b[j]$的定义，易知：
$$X= \max _{1 \le j \le n} b[j]$$
这也很好理解。设想一下，所求得的连续字数组肯定以某个元素结束，求出所有的“以某个元素结束的连续数组最大和$b[j]$”，取其最大的$b[j]$，即为$X$。

下面求$b[j]$。
（1） 当$b[j-1] \gt 0$时，无论$a[j]$为何值，$b[j] = b[j-1] + a[j]$；
（2）当$b[j-1]\le 0$时，无论$a[j]$为何值，$b[j] = a[j]$;

例子

k	1	2	3	4
a[k]	3	-4	2	10
b[k]	3	-1	2	12

其中，$b[1] = a[1]$，$b[2] = b[1] + a[2]$，$b[3] = a[3]$，$b[4] = b[3] + a[4]$；因此，对数组$a$，最大字段和为$b[4]$，即$X = 12$。

代码

int b[n + 1];
b[1] = a[1];
int X= a[1];
for(int i = 2; i <= n; i++) {
    if(b[i - 1] <= 0) {
        b[i] = a[i];
    } else {
        b[i] = a[i] + b[i - 1];
    }

    if(b[i] > X)
        X = b[i];
} 

算法时间复杂度为$O(n)$。

二、变种之一： 两个不重叠（可相邻）连续字数组的最大和

问题定义

设数组$a[t]$，$1 \le t \le n$，两个不重叠连续字数组的最大和$S$定义为：

$$S= \max _{1 \le i \le j \lt p \le q \le n} \{ \sum _{t=i} ^j a[t] + \sum _{t=p} ^q a[t] \}$$

问题分析

应用了求最大字段和的方法。其求解算法如下：
（1）从头到尾扫描一遍数组，其循环下标$i$从$1$增加到$n$，依次求得字数组$a[1…i]$的最大字段和，将结果保存在$maxSum[1…n]$数组；
（2）从尾到头扫描一遍数组，其循环下标$i$从$n$减小到$1$，依次求得字数组$a[i…n]$的最大字段和，将结果保存在$rMaxSum[1…n]$数组；
（3）从尾到头扫描一遍数组（其实哪个方向无所谓），其循环下标从$n-1$到$1$，求和$maxSum[i] + rMaxSum[i+1]$，取最大的结果，即$\max\{ maxSum[i] + rMaxSum[i+1]\}，1 \le i \le n-1$，即为所要求的结果。

例子

t	1	2	3	4
a[t]	3	-4	2	10
b[t]	3	-1	2	12
maxSum[t]	3	3	3	12
rb[t]	11	8	12	10
rMaxSum[t]	12	12	12	10

其中，$rb$数组与$b$数组的作用类似，只不过$rb[j]$保存的是“从尾到头方向，以$a[j]$元素为结束元素的连续数组的和的最大值”。而$rMaxSum$同样只需根据$rb$数组即可求出。

代码

以POJ上面2593题“Max Sequence”为例给出相应的代码。

#include <stdio.h>

const int MAX = 100005;
int arr[MAX];
// 保存字数组的最大字段和，分正向和反向
int maxSeqHere[MAX], rMaxSeqHere[MAX]; 
// 保存“以某个元素为结束元素的字数组”的最大和，同样分正向和反向
int maxEndingHere[MAX], rMaxEndingHere[MAX]; 

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n), n != 0) {
        // 初始化
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &arr[i]);
        }

        // 以下从头到尾扫描数组，求得字数组的最大字段和
        maxEndingHere[0] = arr[0];
        maxSeqHere[0] = arr[0];
        int maxTemp = arr[0];
        for(int i = 1; i < n - 1; i++) {
            // 利用“问题分析”中b[j]的求法
            if(maxEndingHere[i - 1] < 0) {
                maxEndingHere[i] = arr[i];
            } else {
                maxEndingHere[i] = arr[i] + maxEndingHere[i - 1];
            }

            if(maxEndingHere[i] > maxTemp)
                maxTemp = maxEndingHere[i];

            maxSeqHere[i] = maxTemp;
        }

        // 以下从尾到头扫描数组，求得字数组的最大字段和
        rMaxEndingHere[n - 1] = arr[n - 1];
        rMaxSeqHere[n - 1] = arr[n - 1];
        int rMaxTemp = arr[n - 1];

        // 保存输出结果
        int maxSumOutput = rMaxSeqHere[n - 1] + maxSeqHere[n - 1 - 1]; 

        for(int i = n - 2; i > 0; i--) {
            if(rMaxEndingHere[i + 1] < 0) {
                rMaxEndingHere[i] = arr[i];
            } else {
                rMaxEndingHere[i] = arr[i] + rMaxEndingHere[i + 1];
            }

            if(rMaxEndingHere[i] > rMaxTemp)
                rMaxTemp = rMaxEndingHere[i];

            rMaxSeqHere[i] = rMaxTemp;
            // 直接在反向扫描中求maxSumOutput即可，不用再多一次扫描
            if(rMaxSeqHere[i] + maxSeqHere[i - 1] > maxSumOutput)
                maxSumOutput = rMaxSeqHere[i] + maxSeqHere[i - 1];
        }

        printf("%d\n", maxSumOutput);
    }

    return 0;
}

本文实质是对文章《动态规划求解最大字段和及其变种问题》的排版进行了优化的版本，内容一样，排版更加清晰。