求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。
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求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。
r
整点个数
r<=2000 000 000
题目描述简洁明了，但r的范围极其坑人，暴力的方法不用想，肯定用数学解决，以下题解有详细证明，，，不是我写的。。。
样例图示：
首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。
然后想数学方法。
有了上面的推理，那么实现的方法为：
枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。
此时d为2R的约数有两种情况：d=2R/d或d=d。( 如d=d就是d<=sqrt(2R)&&2R/d>=sqrt(2R)的情况 )
第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1
第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1
因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4
【时间复杂度分析】：
枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long LL; 4 LL R,ans=0; 5 LL gcd(LL x,LL y){ 6 if(x%y==0) return y; 7 else return gcd(y,x%y); 8 } 9 bool check(LL y,double x) 10 { 11 if(x==floor(x))//判断整点 12 { 13 LL x1=(LL)floor(x); 14 if(gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)=1并且A!=B 15 return true; 16 } 17 return false; 18 } 19 int main() 20 { 21 scanf("%lld",&R); 22 for(LL d=1;d<=(LL)sqrt(2*R);d++) 23 { 24 if((2*R)%d==0) 25 { 26 for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*r/d 27 { 28 double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a); 29 if(check(a,b)) 30 ans++; 31 } 32 if(d!=(2*R)/d) 33 { 34 for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<d 35 { 36 double b=sqrt(d-a*a); 37 if(check(a,b)) 38 ans++; 39 } 40 } 41 } 42 } 43 printf("%lld\n",ans*4+4); 44 return 0; 45 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4668189.html
