POJ 1286-Necklace of Beads(Polya计数)

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题目地址：POJ 1286

题意：n个珠子串成一个圆，用三种颜色去涂色。问一共有多少种不同的涂色方法(不同的涂色方法被定义为：如果这种涂色情况翻转，旋转不与其他情况相同就为不同。)

思路：Polya定理第一发，这道题其实就是一个最简单的板子题。要想明白Polya定理首先要知道置换，置换群和轮换的概念，可以参考这里(用例子很好理解)。

项链可以进行旋转和翻转。

翻转：如果n是奇数，则存在n中置换，每种置换包含n/2+1种循环(即轮换)。

            如果n是偶数，如果对称轴过顶点，则存在n/2种置换，每种置换包含n/2种循环(即轮换)

                                       如果对称轴不过顶点，则存在n/2种置换，每种置换包含n/2+1种循环(即轮换)

旋转：n个点顺时针或者逆时针旋转i个位置的置换，轮换个数为gcd(n,i)

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double pi= acos(-1.0);
const double esp=1e-6;
LL gcd(LL a,LL b) {
    while(b!=0) {
        LL r=b;
        b=a%b;
        a=r;
    }
    return a;
}
LL modxp(LL a,LL b) {
    LL res=1;
    while(b!=0) {
        if(b&1) res*=a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main() {
    LL n,i;
    LL ans;
    while(~scanf("%lld",&n)) {
        if(n==-1) break;
        if(!n){
            puts("0");
            continue;
        }//不要掉了这种情况
        ans=0;
        for(i=1; i<=n; i++)
            ans+=modxp(3,gcd(n,i));
        if(n&1) {
            ans+=modxp(3,n/2+1)*n;
        } else {
            ans+=modxp(3,n/2+1)*(n/2);
            ans+=modxp(3,n/2)*(n/2);
        }
        printf("%lld\n",ans/(n*2));
    }
    return 0;
}

POJ 1286-Necklace of Beads(Polya计数)

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原文地址：http://blog.csdn.net/u013486414/article/details/47041881